1. Uma cultura de bactérias cresce com uma taxa de crescimento relativo constante. A contagem era de 400 depois de 2 horas e 25.600 depois de 6 horas.
    (a) Qual a população inicial da cultura?
    (b) Encontre uma expressão para a população depois de t horas.
    (c) Em que período de tempo a população duplica?
    (d) Quando a população alcançará 100.000 ?

Passo 1

O enunciado descreve uma cultura de bactérias com taxa de crescimento relativo constante. Temos os dados
;N(2)=400 e ;N(6)=25600,
onde N(t) é a população após t horas. Vamos usar o modelo de crescimento exponencial
N(t)=N0e^k t,
em que N0 é a população inicial e k é a taxa de crescimento.

Passo 2

Para eliminar N0 e encontrar k, fazemos a razão entre N(6) e N(2):
N(6)N(2) =N0e^6kN0e^2k =e^4k =25600400=64

Passo 3

Da igualdade e^4k=64 obtemos
4k=ln 64=lnl(2^6r)=6ln2,
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k=6ln24=1,5ln2(h^-1)

Passo 4

Para achar N0, usamos N(2)=400:
N0e^2k=400 Longrightarrow N0=400,e^-2k =400,e^-3ln2 =4002^3=50

Passo 5

Assim, a expressão geral da população é
N(t)=50,e^(1,5ln2),t =50cdot2^1,5,t

Passo 6

Para o tempo de duplicação T resolvemos N(t+T)=2N(t), isto é e^kT=2. Logo,
T=ln2k =ln21,5ln2=11,5=tfrac23 happrox40 min

Passo 7

Para achar t tal que N(t)=100000, resolvemos
50,e^k,t=100000 Longrightarrow e^k,t=2000 Longrightarrow t=ln2000k approx7,60091,0397approx7,31 h

Resposta

(a) 50
(b) N(t)=50,e^(1,5ln2),t=50cdot2^1,5t
(c) tfrac23 horas (cerca de 40 minutos)
(d) Aproximadamente 7,31 horas após o início da cultura.

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