- Uma cultura de bactérias cresce com uma taxa de crescimento relativo constante. A contagem era de 400 depois de 2 horas e 25.600 depois de 6 horas.
(a) Qual a população inicial da cultura?
(b) Encontre uma expressão para a população depois de
horas.
(c) Em que período de tempo a população duplica?
(d) Quando a população alcançará 100.000 ?
(a) Qual a população inicial da cultura?
(b) Encontre uma expressão para a população depois de
(c) Em que período de tempo a população duplica?
(d) Quando a população alcançará 100.000 ?
Passo 1
O enunciado descreve uma cultura de bactérias com taxa de crescimento relativo constante. Temos os dados
e
,
onde é a população após
horas. Vamos usar o modelo de crescimento exponencial
onde
em que
é a população inicial e
é a taxa de crescimento.
Passo 2
Para eliminar
e encontrar
, fazemos a razão entre
e
:
Passo 3
Da igualdade
obtemos
logo
Passo 4
Para achar
, usamos
:
Passo 5
Assim, a expressão geral da população é
Passo 6
Para o tempo de duplicação
resolvemos
, isto é
. Logo,
Passo 7
Para achar
tal que
, resolvemos
Resposta
(a)
(b)
(c) horas (cerca de 40 minutos)
(d) Aproximadamente horas após o início da cultura.
(b)
(c)
(d) Aproximadamente