Calcule a área da região limitada pelas curvas: x=y^2, y-x=2, y=-2 e y=3

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas x=y^2, y-x=2 (ou seja x=y-2), e pelas retas horizontais y=-2 e y=3. É um problema de cálculo de área por integração em coordenadas cartesianas, onde vamos integrar em relação a y.

Passo 2

Para cada y entre -2 e 3, a fronteira esquerda da região é dada pela reta x=y-2 e a fronteira direita pela parábola x=y^2. Para verificar quem fica à esquerda, comparamos y^2 e y-2:
y^2-(y-2)=y^2-y+2=(y-tfrac12)^2+tfrac74>0
Isso mostra que y^2>y-2 para todo y, logo a parábola está sempre à direita da reta.

Passo 3

A área A é dada pela integral das diferenças horizontais xdireita-xesquerda de y=-2 até y=3:
A=integraly=-2^3l(y^2-(y-2)r),dy

Passo 4

Agora basta calcular a integral:
integral(y^2-y+2),dy=y^33-y^22+2y
Avaliaremos de y=-2 a y=3:
l(tfrac3^33-tfrac3^22+2cdot3r)-l(tfrac(-2)^33-tfrac(-2)^22+2cdot(-2)r) =l(9-4.5+6r)-l(-tfrac83-2-4r) =10.5-l(-tfrac263r) =10.5+tfrac263 =tfrac1156

Resposta

A área da região é tfrac1156.

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