Obtenha a derivada direcional de
no ponto dado e na direção do vetor
:
(Dica: se o vetor
não for unitário, normalize-o como fizemos em sala)
(Dica: se o vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção se ele não for unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor
é a taxa de variação da função nessa direção. Matematicamente, ela é calculada através do produto escalar do gradiente da função no ponto com o vetor direcional unitário.
Passo 3
Então, nosso primeiro passo é calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos garantir que o vetor direção
seja unitário. Para isso, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Fazendo o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.