Obtenha a derivada direcional de f no ponto dado e na direção do vetor u :
(Dica: se o vetor u não for unitário, normalize-o como fizemos em sala)
g(p, q)=p^4-p^2 q^3, P(2,1), u=(1,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção se ele não for unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor é a taxa de variação da função nessa direção. Matematicamente, ela é calculada através do produto escalar do gradiente da função no ponto com o vetor direcional unitário.

Passo 3

Então, nosso primeiro passo é calcular o gradiente da função nabla g(p, q) = ( partial gpartial p, partial gpartial q ) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Vamos calcular:
partial gpartial p = 4p^3 - 2p q^3
Calculando as derivadas parciais:
partial gpartial q = -3p^2 q^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla g(2, 1) = ( 4(2)^3 - 2(2)(1)^3, -3(2)^2(1)^2 ) :
nabla g(2, 1) = ( 4 times 8 - 4, -3 times 4 times 1 )
nabla g(2, 1) = ( 32 - 4, -12 )
nabla g(2, 1) = (28, -12)

Passo 5

Em seguida, precisamos garantir que o vetor direção | u | = raiz1^2 + 3^2 = raiz1 + 9 = raiz10 seja unitário. Para isso, calculamos o módulo de u = ( 1raiz10, 3raiz10 ) :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Du g(2,1) = nabla g(2,1) cdot u
Fazendo o produto escalar:
Du g(2,1) = (28, -12) cdot ( 1raiz10, 3raiz10 )
Du g(2,1) = 28 times 1 + (-12) times 3raiz10 = 28 - 36raiz10 = -8raiz10

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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