Determine a área da região entre a curva y=2 x1+x^2 e o intervalo -1 <= x <= 1 do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y=2x1+x^2 e o eixo x para -1<= x<=1. O conteúdo aqui é cálculo de área via integrais definidas e uso de simetria de funções ímpares.

Passo 2

Observamos que f(x)=2x1+x^2 é uma função ímpar, pois f(-x)=-f(x). Como a área é sempre positiva, podemos usar simetria e escrever a área total como
A=2integral0^12x1+x^2,dx

Passo 3

Fatoramos a constante fora da integral:
A=4integral0^1x1+x^2,dx
Para resolver essa integral, usamos a substituição u=1+x^2, de onde du=2x,dx.

Passo 4

Com a substituição temos
integralx1+x^2,dx=12integralduu=12ln(u)+C=12ln(1+x^2)+C
Avaliando de 0 a 1, o valor da integral interna é tfrac12ln(2).

Resposta

2ln(2)

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