Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^prime prime+9 y=6 exp [3 x]

Passo 1

No enunciado temos a equação diferencial não-homogênea y'' + 9y = 6 e^3x. O conteúdo é resolução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e vamos precisar da solução geral da parte homogênea e de uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea associada é y'' + 9y = 0. A equação característica é
r^2 + 9 = 0
cuja solução é r = pm 3i. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x)

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é 6 e^3x e 3 não é raiz da característica, propomos
yp(x) = A e^3x

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp e substituímos em y'' + 9y = 6 e^3x:
yp'(x) = 3A e^3x,
yp''(x) = 9A e^3x
Substituindo:
9A e^3x + 9A e^3x = 6 e^3x,
logo
18A e^3x = 6 e^3x,
e daí A = tfrac13.

Passo 5

Portanto a solução particular é
yp(x) = tfrac13 e^3x

Passo 6

Somando as soluções homogênea e particular, obtemos a solução geral da equação.

Resposta

y(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) + tfrac13 e^3x

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