Determine e esboce os domínios das funções dadas
f(x, y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}. O conteúdo é domínio de funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos determinar onde f está bem definida e depois representar graficamente esse conjunto no plano xy.

Passo 2

A função existe se e somente se os denominadores não se anularem. Assim, é necessário e suficiente que
x\neq 0 \quad\text{e}\quad y\neq 0.
Logo, o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq 0,\;y\neq 0\}.

Passo 3

Para esboçar D, desenha-se o plano cartesiano e excluem-se as retas x=0 e y=0. O domínio fica composto pelas quatro regiões abertas resultantes (os quatro quadrantes), ou seja:
x>0,\;y>0
x>0,\;y<0
x<0,\;y>0
x<0,\;y<0
No esboço, essas regiões são destacadas e as retas x=0 e y=0 não fazem parte do domínio.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq 0,\;y\neq 0\}.

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