Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=e^x, x=2, x=0, y=-1;

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: queremos achar a área da região limitada pelas curvas y = e^x, x = 0, x = 2 e y = -1. Esse é um problema de área entre curvas (cálculo integral). Vamos precisar identificar qual é a função superior e qual é a inferior no intervalo de x e montar uma integral definida.

Passo 2

Identificação das fronteiras verticais e das funções superior/inferior: no intervalo 0 <= x <= 2, a curva de cima (superior) é y = e^x e a de baixo (inferior) é a reta y = -1. A “altura” da região em cada x é dada por e^x - (-1) = e^x + 1.

Passo 3

Configuração da integral definida: a área procurada é dada por somar todas as fatias verticais de largura dx e altura e^x+1. Assim,
Área = integral0^2 l(e^x + 1r),dxÁ

Passo 4

Cálculo da integral: sabemos que integral e^x,dx = e^x e integral 1,dx = x. Então
integral0^2 (e^x + 1),dx = l[e^x + xr]0^2 = (e^2 + 2) - (e^0 + 0) = e^2 + 2 - 1 = e^2 + 1

Resposta

e^2 + 1

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