Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=3-x, y=1+x, y=-x5+7;

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas retas y=3-x, y=1+x e y=-tfracx5+7. O conteúdo envolve duas partes: resolver sistemas lineares para achar os vértices do triângulo e depois usar a fórmula do determinante (shoelace) para calcular a área.

Passo 2

Para encontrar cada vértice, resolvemos o sistema formado por duas retas de cada vez. Primeiro, igualamos 3-x=1+x:
3 - x = 1 + x
Isolando x:
3 - 1 = x + x Rightarrow 2 = 2x Rightarrow x=1
Substituindo em y=1+x y=2.

Passo 3

Agora achamos os outros dois vértices: igualamos y=3-x com y=-tfracx5+7:
3 - x = -tfracx5 + 7
Multiplicando tudo por 5:
15 - 5x = -x + 35 Rightarrow -5x + x = 35 - 15 Rightarrow -4x = 20 Rightarrow x = -5
Então y=3-(-5)=8. Finalmente, igualamos y=1+x com y=-tfracx5+7:
1 + x = -tfracx5 + 7
Multiplicando por 5:
5 + 5x = -x + 35 Rightarrow 6x = 30 Rightarrow x = 5
Logo y=1+5=6. Assim, os vértices são (1,2), (-5,8) e (5,6).

Passo 4

Para calcular a área do triângulo formado por esses pontos, usamos a fórmula do determinante (shoelace):
A = 12l|x1y2 + x2y3 + x3y1 - (y1x2 + y2x3 + y3x1)r|
Aqui adotamos (x1,y1)=(-5,8), (x2,y2)=(1,2) e (x3,y3)=(5,6).

Passo 5

Substituindo os valores:
S &= (-5)cdot2 + 1cdot6 + 5cdot8 - l(8cdot1 + 2cdot5 + 6cdot(-5)r) &= (-10 + 6 + 40) - (8 + 10 - 30) &= 36 - (-12) = 48
Então
A = tfrac12,|48| = 24

Resposta

24

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