Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da R delimitada por:
y=cos x, y=sen x, x=0 e x=pi4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região R limitada por y=cos x, y=sen x, x=0 e x=π/4. O conteúdo é sólidos de revolução pelo método dos discos (ou anéis), e vamos precisar usar a fórmula
V=πintegrala^bl(Rext(x)^2 - Rint(x)^2r),dx,
além de identidades trigonométricas para simplificar o integrando.

Passo 2

Para x em [0,π/4], temos cos x ≥ sen x, logo o raio externo é R_{ext}(x)=cos x e o raio interno é R_{int}(x)=sen x.

Passo 3

Montamos o volume pelo método dos anéis:
V = πintegral0^π/4 l(cos^2 x - sin^2 xr),dx
Usando a identidade cos^2 x - sin^2 x = cos2x, fica
V = πintegral0^π/4 cos2x,dx

Passo 4

Calculamos a integral:
integral cos2x,dx = sin2x2,
portanto
V = π l[ sin2x2 r]0^π/4 = π2l(sin(π/2)-sin0r) = π2

Resposta

π2

Exercícios relacionados