Calcule a área da região limitada pelas curvas:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y=−x⁴ e y=−81. O conteúdo é cálculo de área entre curvas usando integração definida; vamos precisar achar os pontos de interseção e montar a integral da diferença das funções.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos:
Logo,
Isso dá
Passo 3
Agora, precisamos saber qual curva está por cima no intervalo [−3,3]. Para um x qualquer com |x|≤3 temos x⁴≤81, então
Isso mostra que y=−x⁴ é a fronteira superior e y=−81 a inferior.
Passo 4
Montamos a integral da diferença entre as curvas:
Passo 5
Usando que o integrando é uma função par, aplicamos simetria:
Calculando:
avaliando de 0 a 3:
Multiplicando por 2 dá
Resposta
A =