Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=-x^4, y=-81;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y=−x⁴ e y=−81. O conteúdo é cálculo de área entre curvas usando integração definida; vamos precisar achar os pontos de interseção e montar a integral da diferença das funções.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos:
-x^4 = -81
Logo,
x^4 = 81
Isso dá
x = pm 3 .

Passo 3

Agora, precisamos saber qual curva está por cima no intervalo [−3,3]. Para um x qualquer com |x|≤3 temos x⁴≤81, então
-x^4 >= -81
Isso mostra que y=−x⁴ é a fronteira superior e y=−81 a inferior.

Passo 4

Montamos a integral da diferença entre as curvas:
A = integral-3^3 l[(-x^4) - (-81)r] ,dx = integral-3^3 (81 - x^4) ,dx

Passo 5

Usando que o integrando é uma função par, aplicamos simetria:
A = 2 integral0^3 (81 - x^4) ,dx
Calculando:
integral (81 - x^4) ,dx = 81x - x^55,
avaliando de 0 a 3:
81cdot3 - 3^55 = 243 - 2435 = 243cdot45 = 9725
Multiplicando por 2 dá
A = 19445

Resposta

A = 19445

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