Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=x^7, y=x^3;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área entre as curvas y=x^7 e y=x^3. Isso é um problema de área de região limitada por duas funções e vamos precisar: encontrar as interseções, saber qual função está por cima em cada trecho e montar integrais definidas.

Passo 2

Para achar os pontos onde as curvas se cruzam, igualamos x^7 = x^3. Assim temos:
x^3(x^4 - 1)=0
Logo, as soluções são x=0 e x^4=1, ou seja x=pm1. Portanto, as curvas se intersectam em x=-1,0,1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima em cada intervalo. Para xin[0,1], como 0<= x<=1 implica x^7<= x^3, temos y=x^3 acima de y=x^7. Para xin[-1,0], testando um valor como x=-0.5, vemos que x^7>-0.125 e x^3=-0.125, então y=x^7 está acima de y=x^3. Além disso, a região é simétrica em relação à origem.

Passo 4

Por causa dessa simetria, podemos escrever a área total como o dobro da área de [0,1] onde a função de cima é x^3 e a de baixo é x^7. Assim:
A = 2 integral0^1 l(x^3 - x^7r),dx

Passo 5

Agora calculamos a integral:
integral0^1 x^3,dx = x^44|0^1 = 14,
integral0^1 x^7,dx = x^88|0^1 = 18

Passo 6

Substituindo em A:
A = 2l(tfrac14 - tfrac18r) = 2cdottfrac18 = tfrac14

Resposta

tfrac14

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