Calcule a Área da regiâo limitada pelas curvas:
y=-1-x^{2}, y=-2 x-4

Passo 1

O que o problema pede: calcular a área da região limitada pelas curvas
y=-1-x^{2},\qquad y=-2x-4.
Informações fornecidas:
\text{parábola } y=-1-x^{2},á
\text{reta } y=-2x-4.
A área procurada é a região fechada onde essas duas curvas se interceptam. Não vamos resolver nada ainda, só identifiquei o que é pedido e quais são as curvas.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos é achar os pontos de interseção das curvas (os limites em x para integrar). Igualamos as duas equações:
-1-x^{2} = -2x-4.
Reorganizando para formar uma equação quadrática:
-1-x^{2} +2x +4 = 0
- x^{2} +2x +3 = 0.
Multiplicando por -1 para ficar mais simples:
x^{2} -2x -3 = 0.
Fatorando:
(x-3)(x+1)=0,
logo
x=-1 \quad\text{ou}\quad x=3.
Encontramos os pontos de interseção em x=-1 e x=3. Calculando as coordenadas y (pegando o valor, por exemplo, da reta):
\text{em } x=-1:\; y=-2(-1)-4=2-4=-2,
\text{em } x=3:\; y=-2(3)-4=-6-4=-10.
Portanto os pontos de interseção são (-1,-2) e (3,-10).

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima (maior y) entre x=-1 e x=3, porque a área entre curvas é a integral do topo menos o fundo. Uma maneira simples é avaliar as funções em um ponto entre as interseções, por exemplo x=0:
\text{parábola em } x=0:\; y=-1-0^{2}=-1,á
\text{reta em } x=0:\; y=-2\cdot0-4=-4.
Como -1>-4, a parábola y=-1-x^{2} está acima da reta y=-2x-4 no intervalo [-1,3]. Portanto a fórmula que vamos usar é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \bigl(f_{\text{topo}}(x)-f_{\text{fundo}}(x)\bigr)\,dxÁ
com a=-1 e b=3.
Aqui uma mini-aula rápida sobre a ideia: a integral definida \int_{a}^{b} g(x)\,dx dá a “área algébrica” sob a curva y=g(x). Se queremos a área entre duas curvas, subtraímos as alturas (topo menos fundo) e integramos essa diferença, que é sempre não negativa quando escolhemos o topo corretamente.

Passo 4

Montamos a integral da diferença entre a parábola e a reta:
\text{Área}=\int_{-1}^{3}\bigl((-1-x^{2})-(-2x-4)\bigr)\,dx.Á
Simplificando o integrando passo a passo:
(-1-x^{2})-(-2x-4) = -1 - x^{2} +2x +4 = -x^{2} +2x +3.
Portanto
\text{Área}=\int_{-1}^{3}\bigl(-x^{2}+2x+3\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Agora calculamos a integral. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) de cada termo:
\int -x^{2}\,dx = -\frac{1}{3}x^{3},\qquad \int 2x\,dx = x^{2},\qquad \int 3\,dx = 3x.
Somando:
F(x) = -\frac{1}{3}x^{3} + x^{2} + 3x
é uma primitiva de -x^{2}+2x+3. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\text{Área}=F(3)-F(-1).Á
Calculamos F(3):
F(3) = -\frac{1}{3}\cdot 3^{3} + 3^{2} + 3\cdot 3 = -\frac{27}{3} + 9 + 9 = -9 + 18 = 9.
Calculamos F(-1):
F(-1) = -\frac{1}{3}\cdot(-1)^{3} + (-1)^{2} + 3\cdot(-1) = -\frac{-1}{3} + 1 -3 = \frac{1}{3} -2 = -\frac{5}{3}.
Subtraindo:
\text{Área} = 9 - \bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) = 9 + \tfrac{5}{3} = \tfrac{27}{3} + \tfrac{5}{3} = \tfrac{32}{3}.Á

Passo 6

Resumo e checagem rápida: encontramos os pontos de interseção x=-1 e x=3, constatamos que a parábola está acima da reta no intervalo, montamos a integral da diferença \int_{-1}^{3}(-x^{2}+2x+3)\,dx, e ao calcular obtemos a área
\frac{32}{3}.
Isso é positivo e faz sentido numericamente.

Resposta

\dfrac{32}{3}

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