Calcule a Área da regiâo limitada pelas curvas:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a área da região limitada pelas curvas
Informações fornecidas:
A área procurada é a região fechada onde essas duas curvas se interceptam. Não vamos resolver nada ainda, só identifiquei o que é pedido e quais são as curvas.
Passo 2
A primeira coisa que precisamos é achar os pontos de interseção das curvas (os limites em
para integrar). Igualamos as duas equações:
Reorganizando para formar uma equação quadrática:
Multiplicando por
para ficar mais simples:
Fatorando:
logo
Encontramos os pontos de interseção em
e
. Calculando as coordenadas
(pegando o valor, por exemplo, da reta):
Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está acima (maior
) entre
e
, porque a área entre curvas é a integral do topo menos o fundo. Uma maneira simples é avaliar as funções em um ponto entre as interseções, por exemplo
:
Como
, a parábola
está acima da reta
no intervalo
. Portanto a fórmula que vamos usar é
com
e
.
Aqui uma mini-aula rápida sobre a ideia: a integral definida
dá a “área algébrica” sob a curva
. Se queremos a área entre duas curvas, subtraímos as alturas (topo menos fundo) e integramos essa diferença, que é sempre não negativa quando escolhemos o topo corretamente.
Passo 4
Montamos a integral da diferença entre a parábola e a reta:
Simplificando o integrando passo a passo:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos a integral. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) de cada termo:
Somando:
é uma primitiva de
. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calculamos
:
Calculamos
:
Subtraindo:
Passo 6
Resumo e checagem rápida: encontramos os pontos de interseção
e
, constatamos que a parábola está acima da reta no intervalo, montamos a integral da diferença
, e ao calcular obtemos a área
Isso é positivo e faz sentido numericamente.