calcular a integral indefinida.
\int \frac{8}{x(\ln (3 x))^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{8}{x\bigl(\ln(3x)\bigr)^{2}}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • A integral é indefinida, então o resultado deve conter uma constante de integração C.
  • O integrando contém \ln(3x), que está definido apenas para x>0 (ou, se preferir, para x<0 também dá sentido à logaritmo, mas normalmente consideramos x>0 aqui). Vou assumir x>0.
  • Há um fator constante \,8 multiplicando a função.
  • Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos transformar a integral para uma forma mais simples usando uma substituição. Defina a variável
u=\ln(3x).
Explicando por que essa escolha faz sentido: \ln(3x) aparece elevado a uma potência no denominador; ao fazer u=\ln(3x) queremos que o diferencial du substitua a parte dx/x que também está presente no integrando. Note que podemos usar a propriedade do logaritmo \ln(3x)=\ln 3+\ln x para ver que
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(3x)\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x},
pois \ln 3 é constante. Então o diferencial é
du=\frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Agora substituímos na integral. Como du=\dfrac{1}{x}\,dx, temos dx=\;x\,du mas o mais prático é observar que \dfrac{1}{x}\,dx=du. Reescrevendo o integrando:
\frac{8}{x\bigl(\ln(3x)\bigr)^{2}}\,dx = 8\cdot \frac{1}{\bigl(\ln(3x)\bigr)^{2}}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Com a substituição u=\ln(3x) e \dfrac{1}{x}\,dx=du, isso vira
8\cdot \frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u. Lembrando a regra de potências para primitivas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2. Então
\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-1}}{-1}=-u^{-1}.
Multiplicando pelo fator 8 ficamos com
8\int u^{-2}\,du = 8\cdot\bigl(-u^{-1}\bigr) = -\frac{8}{u}+C.

Passo 5

Voltemos à variável original x. Lembrando que u=\ln(3x), a primitiva encontrada é
-\frac{8}{\ln(3x)} + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta para checar que obtemos o integrando. Seja F(x)=-8\bigl(\ln(3x)\bigr)^{-1}. Usando a regra da cadeia,
F'(x)=-8\cdot(-1)\bigl(\ln(3x)\bigr)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln(3x)\bigr) =8\cdot\frac{1}{\bigl(\ln(3x)\bigr)^{2}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{8}{x\bigl(\ln(3x)\bigr)^{2}},
que é exatamente o integrando. Pronto — está correto! Força nos estudos, você está indo bem.

Resposta

-\frac{8}{\ln(3x)} + C

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