calcular a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos:
- A integral é indefinida, então o resultado deve conter uma constante de integração
. - O integrando contém
, que está definido apenas para (ou, se preferir, para também dá sentido à logaritmo, mas normalmente consideramos aqui). Vou assumir . - Há um fator constante
multiplicando a função. - Não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Vamos transformar a integral para uma forma mais simples usando uma substituição. Defina a variável
Explicando por que essa escolha faz sentido:
aparece elevado a uma potência no denominador; ao fazer
queremos que o diferencial
substitua a parte
que também está presente no integrando. Note que podemos usar a propriedade do logaritmo
para ver que
pois
é constante. Então o diferencial é
Passo 3
Agora substituímos na integral. Como
, temos
mas o mais prático é observar que
. Reescrevendo o integrando:
Com a substituição
e
, isso vira
Passo 4
Agora integramos em
. Lembrando a regra de potências para primitivas: para
,
Aqui
. Então
Multiplicando pelo fator
ficamos com
Passo 5
Voltemos à variável original
. Lembrando que
, a primitiva encontrada é
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta para checar que obtemos o integrando. Seja
. Usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Pronto — está correto! Força nos estudos, você está indo bem.