Problema 12.39 (adaptado). As tensões principais em um ponto de material dúctil são: sigma_{1}=sigma_{0}, sigma_{2}=0,75 sigma_{0} e sigma_{3}=0. Se a tensão de escoamento do material é 200 MPa , determine o valor de sigma_{0} que inicia o escoamento utilizando a teoria de máxima energia de distorção.

Passo 1

O enunciado dá as tensões principais em um ponto e pede o valor de \sigma_{0} que inicia o escoamento segundo a teoria de máxima energia de distorção. Informações fornecidas:
\sigma_{1}=\sigma_{0},\qquad \sigma_{2}=0{,}75\,\sigma_{0},\qquad \sigma_{3}=0
A tensão de escoamento do material (limite de escoamento) é \sigma_{y}=200\\ \text{MPa}.
O que se pede: encontrar \sigma_{0} tal que, pelo critério de máxima energia de distorção (von Mises), o escoamento começa quando a tensão equivalente de von Mises atinge \sigma_{y}.

Passo 2

Apresento a fórmula da tensão equivalente de von Mises e explico cada termo. A teoria de máxima energia de distorção diz que o escoamento começa quando a tensão equivalente \sigma_{v} atinge \sigma_{y}. A fórmula (para tensões principais) é:
\sigma_{v}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\Big[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}\Big]}
onde \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} são as tensões principais. Vamos usar essa fórmula com os valores dados e impor \sigma_{v}=\sigma_{y}.

Passo 3

Calculo as diferenças entre as tensões principais, substituindo \sigma_{1}=\sigma_{0}, \sigma_{2}=0{,}75\sigma_{0}, \sigma_{3}=0:
\sigma_{1}-\sigma_{2}=\sigma_{0}-0{,}75\sigma_{0}=0{,}25\sigma_{0}
\sigma_{2}-\sigma_{3}=0{,}75\sigma_{0}-0=0{,}75\sigma_{0}
\sigma_{3}-\sigma_{1}=0-\sigma_{0}=-\sigma_{0}
Agora elevo cada uma ao quadrado:
(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}=(0{,}25\sigma_{0})^{2}=0{,}0625\,\sigma_{0}^{2}
(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}=(0{,}75\sigma_{0})^{2}=0{,}5625\,\sigma_{0}^{2}
(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}=(-\sigma_{0})^{2}=1\,\sigma_{0}^{2}

Passo 4

Somo os termos e aplico o fator \tfrac{1}{2} da fórmula:
(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2} = \sigma_{0}^{2}\big(0{,}0625+0{,}5625+1\big)
= \sigma_{0}^{2}\cdot 1{,}625
Aplicando o \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}625\,\sigma_{0}^{2}=0{,}8125\,\sigma_{0}^{2}
Portanto
\sigma_{v}=\sqrt{0{,}8125}\,\sigma_{0}
Note que 0{,}8125=\tfrac{13}{16}, então podemos também escrever
\sigma_{v}=\sqrt{\tfrac{13}{16}}\,\sigma_{0}=\frac{\sqrt{13}}{4}\,\sigma_{0}.

Passo 5

Imponho a condição de escoamento \sigma_{v}=\sigma_{y} e resolvo para \sigma_{0}:
\frac{\sqrt{13}}{4}\,\sigma_{0}=\sigma_{y}
\sigma_{0}=\frac{4\,\sigma_{y}}{\sqrt{13}}

Passo 6

Substituo \sigma_{y}=200\\ \text{MPa} e calculo numericamente:
\sigma_{0}=\frac{4\cdot 200}{\sqrt{13}}=\frac{800}{\sqrt{13}}
Aproximando \sqrt{13}\approx 3{,}605551, obtemos
\sigma_{0}\approx 221{,}7\\ \text{MPa}.
Pequena checagem: \sigma_{v}=(\sqrt{13}/4)\cdot 221{,}7\approx 200\\ \text{MPa}, ou seja, está consistente.

Resposta

\sigma_{0}=221{,}7\\ \text{MPa}

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