Problema 12.39 (adaptado). As tensões principais em um ponto de material dúctil são: sigma_{1}=sigma_{0}, sigma_{2}=0,75 sigma_{0} e sigma_{3}=0. Se a tensão de escoamento do material é 200 MPa , determine o valor de sigma_{0} que inicia o escoamento utilizando a teoria de máxima tensão de cisalhamento.

Passo 1

O enunciado dá as tensões principais em um ponto do material:
\sigma_{1}=\sigma_{0}, \sigma_{2}=0,75\,\sigma_{0} e \sigma_{3}=0.
A tensão de escoamento do material (em ensaio uniaxial) é \,200\\ \text{MPa}.
O que se pede: determinar o valor de \sigma_{0} que inicia o escoamento, usando a teoria de máxima tensão de cisalhamento (critério de Tresca).

Passo 2

Explicando a teoria (passo a passo, sem pular etapas).
A teoria de máxima tensão de cisalhamento diz que o material entra em escoamento quando a maior tensão de cisalhamento no ponto atinge a tensão de cisalhamento correspondente ao escoamento no ensaio uniaxial.
  • Como calcular a maior tensão de cisalhamento a partir das tensões principais?
    Sejam as tensões principais ordenadas \sigma_{\text{max}}\ge\sigma_{\text{mid}}\ge\sigma_{\text{min}}. As tensões de cisalhamento máximas relativas entre pares de principais são:
    \tau_{12}=\frac{\sigma_{\text{max}}-\sigma_{\text{mid}}}{2},\qquad \tau_{13}=\frac{\sigma_{\text{max}}-\sigma_{\text{min}}}{2},\qquad \tau_{23}=\frac{\sigma_{\text{mid}}-\sigma_{\text{min}}}{2}.
    A maior tensão de cisalhamento no ponto é
    \tau_{\max}=\max\{\tau_{12},\tau_{13},\tau_{23}\}.
    (Intuição rápida: cisalhamento máximo ocorre entre o maior e o menor principal.)
  • Relação com o ensaio uniaxial: no ensaio em tração pura com tensão de escoamento \sigma_{y} temos \sigma_1=\sigma_{y} e \sigma_2=\sigma_3=0. A maior tensão de cisalhamento nesse caso é
    \tau_{\text{ensaio}}=\frac{\sigma_{y}-0}{2}=\frac{\sigma_{y}}{2}.
    Pelo critério de Tresca, ocorrerá escoamento quando
    \tau_{\max}=\frac{\sigma_{y}}{2}.
    Outra forma útil (equivalente) é:
    \sigma_{\text{max}}-\sigma_{\text{min}}=\sigma_{y}.
    Ambas são equivalentes porque \tau_{\max}=(\sigma_{\text{max}}-\sigma_{\text{min}})/2.

Passo 3

Aplicando aos dados do problema: primeiro calcule as diferenças entre as tensões principais e as metades correspondentes (tudo passo a passo).
As tensões principais já estão ordenadas como \sigma_{1}=\sigma_{0} (maior), \sigma_{2}=0,75\,\sigma_{0} (média) e \sigma_{3}=0 (menor). Calculemos:
\sigma_{1}-\sigma_{2}=\sigma_{0}-0,75\,\sigma_{0}=0,25\,\sigma_{0}.
Metade disso (a tensão de cisalhamento correspondente) é
\tau_{12}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2}=\frac{0,25\,\sigma_{0}}{2}=0,125\,\sigma_{0}.
Agora
\sigma_{1}-\sigma_{3}=\sigma_{0}-0=\sigma_{0},
e
\tau_{13}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}=\frac{\sigma_{0}}{2}=0,5\,\sigma_{0}.
Finalmente
\sigma_{2}-\sigma_{3}=0,75\,\sigma_{0}-0=0,75\,\sigma_{0},
e
\tau_{23}=\frac{\sigma_{2}-\sigma_{3}}{2}=\frac{0,75\,\sigma_{0}}{2}=0,375\,\sigma_{0}.

Passo 4

Identifique a maior tensão de cisalhamento:
\tau_{\max}=\max\{0,125\,\sigma_{0},\;0,5\,\sigma_{0},\;0,375\,\sigma_{0}\}=0,5\,\sigma_{0}.
Pelo critério de Tresca, o escoamento inicia quando \tau_{\max}=\dfrac{\sigma_{y}}{2}. Como \sigma_{y}=200\\ \text{MPa}, temos \dfrac{\sigma_{y}}{2}=100\\ \text{MPa}. Igualando:
0,5\,\sigma_{0}=100\\ \text{MPa}.
Resolva para \sigma_{0}:
\sigma_{0}=\frac{100\\ \text{MPa}}{0,5}=200\\ \text{MPa}.

Passo 5

Interpretação curta e ânimo: o resultado significa que, segundo o critério de máxima tensão de cisalhamento, apesar de haver três valores diferentes de tensões principais, quem domina é a diferença entre a maior e a menor. Aqui isso leva a \sigma_{0} igual à tensão de escoamento em tração simples. Você já fez toda a conta passo a passo — ótimo trabalho em acompanhar! \n

Resposta

\sigma_{0}=200\\ \text{MPa}

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