Considere a EDO de Bernoulli de ordem 3 dada por:
1 x \frac{d y}{d x}+6 y=x^{\frac{7}{1}} y^{3}
Item 1) Transforme pelo método de Bernoulli essa EDO em uma EDO linear e encontre o fator integrante \mu(x)=e^{\int P(x) d x} e o avalie no ponto x=1.
Coloque sua resposta aqui: \mu(x=1)=

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}+6y=x^{\frac{7}{1}}y^{3}
e pede que eu a transforme (pelo método indicado) em uma EDO linear, encontre o fator integrante \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx} e avalie esse fator em x=1. Informações relevantes que eu extraio do enunciado:
\text{Equação dada: }\;x\frac{dy}{dx}+6y=x^{7}y^{3}.çã
As perguntas são:
  1. transformar a EDO em uma EDO linear (usando a transformação apropriada para este tipo de equação);
  2. encontrar o fator integrante \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx} da EDO linear obtida;
  3. avaliar \mu(x) em x=1.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão em que apareça y' sozinho. Divido toda a equação por x (assumindo x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{6}{x}y=x^{6}y^{3}.
Esta é a forma padrão do tipo \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} com termo não linear em y^{n}. Aqui identifico:
P(x)=\frac{6}{x},\qquad Q(x)=x^{6},\qquad n=3.
Explico: colocar na forma com \frac{dy}{dx} isolado facilita aplicar a transformação que reduz o problema a uma EDO linear.

Passo 3

A técnica padrão para equações do tipo \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} é a substituição
u=y^{1-n}.
Vou mostrar por que isso lineariza: com n=3 temos
u=y^{1-3}=y^{-2}.
Agora calculo du/dx em função de dy/dx. Derivando u=y^{-2} em relação a x (regra da cadeia):
\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}.
Isolo y^{-3}\frac{dy}{dx}:
y^{-3}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}\frac{du}{dx}.

Passo 4

Multiplico a equação já dividida por x,
\frac{dy}{dx}+\frac{6}{x}y=x^{6}y^{3},
pelo fator y^{-3} para usar a relação acima:
y^{-3}\frac{dy}{dx}+\frac{6}{x}y^{-2}=x^{6}.
Substituo y^{-3}\frac{dy}{dx}=-\tfrac{1}{2}\frac{du}{dx} e y^{-2}=u. Assim obtenho
-\tfrac{1}{2}\frac{du}{dx}+\frac{6}{x}u=x^{6}.
Multiplico toda a equação por -2 para deixar na forma padrão u'+p(x)u=r(x):
\frac{du}{dx}-\frac{12}{x}u=-2x^{6}.

Passo 5

Agora eu tenho uma EDO linear de primeira ordem em u:
\frac{du}{dx}+p(x)u=r(x),
onde no meu caso
p(x)=-\frac{12}{x},\qquad r(x)=-2x^{6}.
O fator integrante \mu(x) para uma equação linear u'+p(x)u=r(x) é definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Vou calcular esse integral para o nosso p(x).

Passo 6

Calculo a integral:
\int p(x)\,dx=\int \left(-\frac{12}{x}\right)\,dx=-12\int\frac{1}{x}\,dx=-12\ln x.
Portanto o fator integrante é
\mu(x)=e^{-12\ln x}.
Uso a identidade e^{a\ln x}=x^{a} (esta identidade vem de reescrever e^{\ln x^{a}}=\;x^{a}), obtendo
\mu(x)=x^{-12}.

Passo 7

Agora avalio o fator integrante no ponto pedido x=1:
\mu(1)=1^{-12}=1.
Pequeno comentário de incentivo: cheguei ao fator integrante e sua avaliação em x=1; o valor é simples — isso acontece porque 1 elevado a qualquer potência continua sendo 1. Força aí, você já tem o que precisava para marcar a resposta!

Resposta

\mu(x=1)=1

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