Considere a EDO de Bernoulli de ordem 3 dada por:
Item 1) Transforme pelo método de Bernoulli essa EDO em uma EDO linear e encontre o fator integrante
e o avalie no ponto
.
Coloque sua resposta aqui:
Item 1) Transforme pelo método de Bernoulli essa EDO em uma EDO linear e encontre o fator integrante
Coloque sua resposta aqui:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu a transforme (pelo método indicado) em uma EDO linear, encontre o fator integrante
e avalie esse fator em
. Informações relevantes que eu extraio do enunciado:
As perguntas são:
- transformar a EDO em uma EDO linear (usando a transformação apropriada para este tipo de equação);
- encontrar o fator integrante
da EDO linear obtida; - avaliar
em .
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão em que apareça
sozinho. Divido toda a equação por
(assumindo
):
Esta é a forma padrão do tipo
com termo não linear em
. Aqui identifico:
Explico: colocar na forma com
isolado facilita aplicar a transformação que reduz o problema a uma EDO linear.
Passo 3
A técnica padrão para equações do tipo
é a substituição
Vou mostrar por que isso lineariza: com
temos
Agora calculo
em função de
. Derivando
em relação a
(regra da cadeia):
Isolo
:
Passo 4
Multiplico a equação já dividida por
,
pelo fator
para usar a relação acima:
Substituo
e
. Assim obtenho
Multiplico toda a equação por
para deixar na forma padrão
:
Passo 5
Agora eu tenho uma EDO linear de primeira ordem em
:
onde no meu caso
O fator integrante
para uma equação linear
é definido por
Vou calcular esse integral para o nosso
.
Passo 6
Calculo a integral:
Portanto o fator integrante é
Uso a identidade
(esta identidade vem de reescrever
), obtendo
Passo 7
Agora avalio o fator integrante no ponto pedido
:
Pequeno comentário de incentivo: cheguei ao fator integrante e sua avaliação em
; o valor é simples — isso acontece porque
elevado a qualquer potência continua sendo
. Força aí, você já tem o que precisava para marcar a resposta!