A posição de determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução deste problema de valor inicial.
(b) Faça os gráficos de
e de
em função de
no mesmo par de eixos.
(c) Faça o gráfico de
em função de
no plano de fase (veja o Problema 28). Identifique diversos pontos correspondentes nas curvas dos itens (b) e (c). Qual o sentido do movimento no plano de fase quando
aumenta?
(b) Faça os gráficos de
(c) Faça o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial para a posição
de um sistema mola-massa, com a equação diferencial e as condições iniciais:
Perguntas pedidas:
(a) Encontrar a solução desse PVI.
(b) Fazer os gráficos de e de
em função de
no mesmo par de eixos.
(c) Fazer o gráfico de em função de
(plano de fase), identificar pontos correspondentes entre (b) e (c) e dizer o sentido do movimento no plano de fase quando
aumenta.
(a) Encontrar a solução
(b) Fazer os gráficos de
(c) Fazer o gráfico de
Informações relevantes dadas: a equação é linear, homogênea, com coeficientes constantes; as duas condições iniciais em
fixam a solução única.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para EDO linear homogênea com coeficientes constantes, escrevemos a equação característica associada substituindo
. A equação característica fornece as raízes
que determinam a forma da solução geral. Se as raízes forem complexas conjugadas
, a solução geral é da forma
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Formação e resolução da equação característica. Substituindo
na EDO obtemos:
Usamos a fórmula quadrática
com
,
,
. Calcule o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calcule as raízes explicitamente:
Logo a parte real é
e a parte imaginária
.
Passo 4
Escrever a solução geral usando a forma para raízes complexas. Pela teoria,
Substituindo
e
encontrados:
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 5
Aplicar
. Em
,
Como
, obtemos
. Então a solução reduz-se a
Passo 6
Aplicar
. Primeiro derivamos
. Com
onde
, a derivada pelo produto dá:
Agora avalie em
:
,
. Portanto
A condição
dá
, então
Passo 7
Escrever a solução final e verificar comportamento inicial. Substituindo
e
,
Verificação rápida do comportamento em
: para
pequeno,
, então
logo
, consistente com a condição inicial. Isso confirma que a constante
está correta.
Passo 8
Derivar explicitamente
final (útil para os gráficos e para o plano de fase). Usando
e
,
Podemos simplificar parcialmente multiplicando por
quando necessário, mas essa forma é prática para avaliar valores e desenhar o gráfico.
Passo 9
Parâmetros numéricos importantes para os gráficos (valores aproximados úteis para desenho à mão):
Amplitude inicial (envelope máximo quando
) é
Alguns pontos de referência (valores aproximados calculados para desenho):
-
(ponto inicial no plano de fase: ) - Primeiro máximo de
ocorre quando . Resolve-se , dando . Assim
e o máximo vale aproximadamente
(positivo) com
. No plano de fase corresponde ao ponto
.
- Primeiro zero subsequente de
ocorre quando . Nesse instante
correspondendo no plano de fase ao ponto
.
Esses pontos (início , máximo
, zero
, etc.) ajudam a traçar os gráficos qualitativos.
Esses pontos (início
Passo 10
Como desenhar os gráficos pedidos:
(b) Gráfico de
e
no mesmo par de eixos
vs valor:
-
é uma oscilação amortecida: uma seno multiplicada por . Desenhe uma seno de período com amplitude máxima inicial e envelope superior e inferior dados por . A função começa em e sobe com inclinação (pois ) até o primeiro pico em . -
pode ser desenhada usando a expressão do Passo 8: é também uma oscilação amortecida, com zeros onde tem extremos e com amplitude decrescente. No mesmo gráfico, escolha escalas que permitam ver tanto quanto (por exemplo eixo vertical de a ), marque os pontos calculados acima para guiar o traçado.
(c) Plano de fase
:
- Trajetória paramétrica dada por
e (ver Passos 7 e 8). Como quando , as oscilações diminuem e a trajetória é uma espiral que converge para a origem. - Sentido do movimento: ao aumentar
a trajetória parte do ponto , vai para a direita até , depois desce até , etc. Isso descreve um giro no sentido horário. Portanto o movimento no plano de fase é uma espiral voltando para a origem no sentido horário. - Identificação de pontos correspondentes entre (b) e (c): cada zero de
corresponde a um ponto sobre o eixo vertical no plano de fase (com igual ao valor mostrado em (b) nesses instantes); cada máximo/minimo de corresponde a um ponto sobre o eixo horizontal no plano de fase; o ponto inicial aparece em (b) como e em (c) como . Marque os mesmos instantes de tempo nas duas figuras para ver a correspondência.
Resposta
(a)
(b) Gráficos: é uma seno amortecida com envelope
, período
e primeiros pontos
.
dado por
; desenhe
e
no mesmo eixo usando esses envelopes e pontos de referência.
(c) Plano de fase: curva paramétrica com
e
das fórmulas acima; é uma espiral que converge para a origem no sentido horário. Pontos correspondentes:
,
,
, etc.
(b) Gráficos:
(c) Plano de fase: curva paramétrica