Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função f(x)=1(x^2+1)^2 e a reta y=1 / 4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo gráfico de f(x)=1(x^2+1)^2 e pela reta y=tfrac14. Para resolver isso, precisamos encontrar os pontos de interseção entre f(x) e y=tfrac14 e depois calcular a integral da diferença entre as duas curvas nesse intervalo.

Passo 2

Determinamos as abscissas de interseção resolvendo
1(x^2+1)^2 = 14
Isso implica (x^2+1)^2=4, logo x^2+1=2 e x^2=1. Portanto, os pontos de interseção são x=-1 e x=1.

Passo 3

A área A é dada pela integral da diferença entre o valor de f(x) e tfrac14 de -1 a 1:
A = integral-1^1l(1(x^2+1)^2 - tfrac14r),dx

Passo 4

A integranda é par, então usamos simetria:
A = 2integral0^1l(1(x^2+1)^2 - tfrac14r),dx = 2l(underbraceintegral0^1dx(x^2+1)^2I ;-;tfrac14cdot 1r)

Passo 5

Calculamos
I = integral0^1dx(x^2+1)^2
Uma primitiva é
integral dx(x^2+1)^2 = x2(x^2+1) + 12arctan x
Avaliada de 0 a 1
I = l[x2(x^2+1) + 12arctan xr]0^1 = 12cdot2 + 12cdotpi4 = 14 + pi8

Passo 6

Substituindo em A:
A = 2l(14 + pi8 - 14r) = 2cdotpi8 = pi4

Resposta

boxedpi4

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