Exercício 14. (Apostol seção 2.12 exercício 2) Seja R^n com a base canônica. Determine a matriz de cada uma das transformações lineares:
T: R^3 R^2 dado por T(x, y, z)=(y, z).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de uma transformação linear
T:R^3toR^2, T(x,y,z)=(y,z),
quando usamos a base canônica em ambos os espaços. O conteúdo aqui é representação matricial de transformações lineares: basta calcular as imagens dos vetores da base canônica de R^3 e colocá-las como colunas na matriz.

Passo 2

Na base canônica de R^3, denotamos
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)
A regra geral diz que a i-ésima coluna da matriz de T é T(ei), escrita em coordenadas da base canônica de R^2.

Passo 3

Vamos calcular cada imagem:
T(e1)=T(1,0,0)=(0,0), T(e2)=T(0,1,0)=(1,0), T(e3)=T(0,0,1)=(0,1)
Em coordenadas de R^2, isso significa
T(e1)=00,; T(e2)=10,; T(e3)=01

Passo 4

Agora montamos a matriz A de T colocando essas colunas na ordem T(e1),T(e2),T(e3). Logo,
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A matriz da transformação T na base canônica é
0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Exercícios relacionados