Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área da região que fica entre os gráficos das funções $ f(x) = -x^{2} + 3x $ e $ g(x) = x - 1 $ no intervalo de $ x $ de 0 a 2. Esse tipo de problema envolve Cálculo de Áreas entre Curvas, onde usamos integrais para encontrar a área entre duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual das duas funções está por cima no intervalo de $ x $ de 0 a 2. Isso é importante porque a área será a diferença entre as duas funções nesse intervalo.
Calculando $ f(x) $ e $ g(x) $ para alguns valores de $ x $:
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Para $ x = 0 $:Aqui, $ f(x) $ está acima de $ g(x) $.
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Para $ x = 1 $:Ainda, $ f(x) $ está acima de $ g(x) $.
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Para $ x = 2 $:Continua assim, $ f(x) $ está acima de $ g(x) $.
Então, sabemos que $ f(x) $ é a função de cima e $ g(x) $ é a de baixo no intervalo de 0 a 2.
Passo 3
Agora, para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a seguinte fórmula da integral:
Onde $ a = 0 $ e $ b = 2 $.
Vamos substituir as funções:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando uma área definida, não precisamos do constante $ C $. Vamos avaliar de 0 a 2:
Simplificando:
Resposta
A área da região limitada pelas funções $ f(x) = -x^{2} + 3x $ e $ g(x) = x - 1 $ no intervalo de $ x $ de 0 a 2 é $ \frac{10}{3} $ unidades quadradas.