Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções
f(x)=-x^2+3 x e g(x)=x-1, para x in[0,2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área da região que fica entre os gráficos das funções $ f(x) = -x^{2} + 3x $ e $ g(x) = x - 1 $ no intervalo de $ x $ de 0 a 2. Esse tipo de problema envolve Cálculo de Áreas entre Curvas, onde usamos integrais para encontrar a área entre duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual das duas funções está por cima no intervalo de $ x $ de 0 a 2. Isso é importante porque a área será a diferença entre as duas funções nesse intervalo.
Calculando $ f(x) $ e $ g(x) $ para alguns valores de $ x $:
  • Para $ x = 0 $:
    x
    f(x)
    Aqui, $ f(x) $ está acima de $ g(x) $.
  • Para $ x = 1 $:
    g(x)
    x
    Ainda, $ f(x) $ está acima de $ g(x) $.
  • Para $ x = 2 $:
    x = 0
    f(0) = -0^2 + 3 times 0 = 0
    Continua assim, $ f(x) $ está acima de $ g(x) $.
Então, sabemos que $ f(x) $ é a função de cima e $ g(x) $ é a de baixo no intervalo de 0 a 2.

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a seguinte fórmula da integral:
Área = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx Á
Onde $ a = 0 $ e $ b = 2 $.
Vamos substituir as funções:
a = 0 Á

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(-x^2 + 3x) - (x - 1) = -x^2 + 3x - x + 1 = -x^2 + 2x + 1
Então, a integral fica:
Área = integral0^2 (-x^2 + 2x + 1) , dx Á

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral (-x^2 + 2x + 1) , dx = -x^33 + 2x^22 + x + C = -x^33 + x^2 + x + C
Como estamos calculando uma área definida, não precisamos do constante $ C $. Vamos avaliar de 0 a 2:
C Á
Simplificando:
Área = [-2^33 + 2^2 + 2] - [-0^33 + 0^2 + 0] Á

Resposta

A área da região limitada pelas funções $ f(x) = -x^{2} + 3x $ e $ g(x) = x - 1 $ no intervalo de $ x $ de 0 a 2 é $ \frac{10}{3} $ unidades quadradas.

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