Determine o comprimento da curva
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida pela função $ y = \frac{x^{2}}{2} $, no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. Para isso, vamos usar um conteúdo de cálculo chamado “comprimento de arco”. A gente vai precisar entender como aplicar a fórmula de comprimento de arco para curvas definidas por funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da nossa função $ y = \frac{x^{2}}{2} $. Derivando em relação a $ x $, temos:
Então, a derivada de $ y $ é simplesmente $ x $.
Passo 4
Substituindo a derivada na fórmula do comprimento de arco, ficamos com:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o comprimento da curva.
Passo 5
A integral $ \int \sqrt{1 + x^{2}} , dx $ é uma integral que requer uma técnica específica. A solução dessa integral é dada por:
Onde $ \sinh^{-1}(x) $ é a função arco seno hiperbólico, que também pode ser escrita como $ \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) $.
Passo 6
Vamos aplicar os limites de integração de 0 a 2 na expressão que encontramos:
Primeiro, calculamos para $ x = 2 $:
Depois, para $ x = 0 $:
Passo 7
Subtraindo os dois resultados, temos:
Passo 8
Para finalizar, vamos calcular o valor numérico dessa expressão. Sabemos que:
Então:
Resposta
O comprimento da curva $ y = \frac{x^{2}}{2} $ de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ é aproximadamente 2,958 unidades.