Determine o comprimento da curva y=x^22, para 0 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida pela função $ y = \frac{x^{2}}{2} $, no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. Para isso, vamos usar um conteúdo de cálculo chamado “comprimento de arco”. A gente vai precisar entender como aplicar a fórmula de comprimento de arco para curvas definidas por funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
y = f(x)
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da nossa função $ y = \frac{x^{2}}{2} $. Derivando em relação a $ x $, temos:
y = x^22
Então, a derivada de $ y $ é simplesmente $ x $.

Passo 4

Substituindo a derivada na fórmula do comprimento de arco, ficamos com:
L = integral0^2 raiz1 + x^2 , dx
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o comprimento da curva.

Passo 5

A integral $ \int \sqrt{1 + x^{2}} , dx $ é uma integral que requer uma técnica específica. A solução dessa integral é dada por:
integral raiz1 + x^2 , dx
Onde $ \sinh^{-1}(x) $ é a função arco seno hiperbólico, que também pode ser escrita como $ \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) $.

Passo 6

Vamos aplicar os limites de integração de 0 a 2 na expressão que encontramos:
L = [ 12 ( x raiz1 + x^2 + ln(x + raiz1 + x^2) ) ]0^2
Primeiro, calculamos para $ x = 2 $:
x = 2
Depois, para $ x = 0 $:
12 ( 2 raiz1 + 4 + ln(2 + raiz5) ) = 12 ( 2 raiz5 + ln(2 + raiz5) )

Passo 7

Subtraindo os dois resultados, temos:
L = 12 ( 2 raiz5 + ln(2 + raiz5) ) - 0 = raiz5 + 12 ln(2 + raiz5)

Passo 8

Para finalizar, vamos calcular o valor numérico dessa expressão. Sabemos que:
raiz5 approx 2,236 e ln(2 + raiz5) approx 1,444
Então:
L approx 2,236 + 12 times 1,444 approx 2,236 + 0,722 approx 2,958

Resposta

O comprimento da curva $ y = \frac{x^{2}}{2} $ de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ é aproximadamente 2,958 unidades.

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