Decida se a seguinte integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu valor.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral imprópria para ver se ela é convergente ou divergente. A integral que temos é:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e potências de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da integral para facilitar a manipulação. A raiz cúbica de $ x^{2} $ é o mesmo que $ x^{2/3} $. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, identificamos que a integral é do tipo $ \int_{a}^{b} x^{p} , dx $, onde $ p = -\frac{2}{3} $. Esse tipo de integral é conhecido como integral de potência.
Passo 4
Para resolver essa integral, usamos a regra da potência para integrais:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando a regra da potência à nossa integral:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Resposta
A integral é convergente e o seu valor é 3.