Decida se a seguinte integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu valor.
integral0^1 1raiz[3]x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral imprópria para ver se ela é convergente ou divergente. A integral que temos é:
integral0^1 1raiz[3]x^2 , dx
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e potências de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da integral para facilitar a manipulação. A raiz cúbica de $ x^{2} $ é o mesmo que $ x^{2/3} $. Então, a integral fica:
x^2

Passo 3

Agora, identificamos que a integral é do tipo $ \int_{a}^{b} x^{p} , dx $, onde $ p = -\frac{2}{3} $. Esse tipo de integral é conhecido como integral de potência.

Passo 4

Para resolver essa integral, usamos a regra da potência para integrais:
integral x^p , dx = x^p+1p+1 + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando a regra da potência à nossa integral:
integral x^-2/3 , dx = x^-2/3 + 1-2/3 + 1 + C = x^1/31/3 + C = 3x^1/3 + C

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
[ 3x^1/3 ]0^1 = 3(1)^1/3 - 3(0)^1/3 = 3 times 1 - 3 times 0 = 3 - 0 = 3

Resposta

A integral é convergente e o seu valor é 3.

Exercícios relacionados