Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região limitada pelos gráficos das funções $ f(x) = \cos x $ e $ g(x) = \sin x $ no intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral correta para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas funções no intervalo dado. Sabemos que $ \cos x $ e $ \sin x $ são funções trigonométricas que se cruzam em determinados pontos. Para encontrar a área entre elas, precisamos identificar qual função está acima da outra no intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $.
Passo 3
Vamos determinar onde $ \cos x $ é maior que $ \sin x $ ou vice-versa. Igualando as duas funções:
Dividindo ambos os lados por $ \cos x $ (desde que $ \cos x \neq 0 $):
No intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $, os pontos de interseção são exatamente $ x = \frac{\pi}{4} $ e $ x = \frac{5\pi}{4} $.
Passo 4
Agora, vamos verificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um ponto dentro do intervalo, por exemplo, $ x = \frac{\pi}{2} $:
Aqui, $ \sin x > \cos x $. Isso indica que, nesse intervalo, $ \sin x $ está acima de $ \cos x $.
Passo 5
Com isso, a área entre as curvas pode ser calculada pela integral da diferença entre $ \sin x $ e $ \cos x $ de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Calculando em $ x = \frac{5\pi}{4} $:
Calculando em $ x = \frac{\pi}{4} $:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas funções $ f(x) = \cos x $ e $ g(x) = \sin x $ no intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $ é $ 2\sqrt{2} $ unidades quadradas.