Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções
f(x)=cos x e g(x)=sin x, para pi4 <= x <= 5 pi4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região limitada pelos gráficos das funções $ f(x) = \cos x $ e $ g(x) = \sin x $ no intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral correta para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas funções no intervalo dado. Sabemos que $ \cos x $ e $ \sin x $ são funções trigonométricas que se cruzam em determinados pontos. Para encontrar a área entre elas, precisamos identificar qual função está acima da outra no intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $.

Passo 3

Vamos determinar onde $ \cos x $ é maior que $ \sin x $ ou vice-versa. Igualando as duas funções:
cos x
Dividindo ambos os lados por $ \cos x $ (desde que $ \cos x \neq 0 $):
sin x
No intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $, os pontos de interseção são exatamente $ x = \frac{\pi}{4} $ e $ x = \frac{5\pi}{4} $.

Passo 4

Agora, vamos verificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um ponto dentro do intervalo, por exemplo, $ x = \frac{\pi}{2} $:
x = pi2
Aqui, $ \sin x > \cos x $. Isso indica que, nesse intervalo, $ \sin x $ está acima de $ \cos x $.

Passo 5

Com isso, a área entre as curvas pode ser calculada pela integral da diferença entre $ \sin x $ e $ \cos x $ de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $:
sin x Á

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral (sin x - cos x) , dx = -cos x - sin x + C

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Área = [-cos x - sin x ]pi4^5pi4 Á
Calculando em $ x = \frac{5\pi}{4} $:
x = 5pi4
Calculando em $ x = \frac{\pi}{4} $:
-cos(5pi4) - sin(5pi4) = -(-raiz22) - (-raiz22) = raiz22 + raiz22 = raiz2

Passo 8

Subtraindo os valores:
raiz2 - (-raiz2) = raiz2 + raiz2 = 2raiz2

Resposta

A área da região limitada pelas funções $ f(x) = \cos x $ e $ g(x) = \sin x $ no intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $ é $ 2\sqrt{2} $ unidades quadradas.

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