Considere a seguinte função
2 x^{2}+3 x \quad \text { se } x \leq 0
f:[-5 / 2, \pi / 2] \rightarrow \mathrm{R} com f(x)=\{
2 \sin (x)+x+1 \quad \text { se } x>0
(a) Estude a continuidade de f no seu domínio [-5 / 2, \pi / 2].
(b) Estude a monotonia de f.
(c) Indique o contradomínio de f :
(d) Esboce o gráfico da função f.

Passo 1

O enunciado define a função f\colon[-5/2,\pi/2]\to\mathbb{R}\) por \[f(x)= \begin{cases} 2x^{2}+3x, & x\le0,\\[6pt] 2\sin x + x + 1, & x>0. \end{cases}
Pede-se (a) estudar continuidade em ([-5/2,\pi/2]], (b) monotonia, (c) contradomínio (imagem) e (d) esboçar o gráfico.]

Passo 2

Continuamos que cada ramo é combinação de polinômio ou de \sin x com funções elementares, logo ambos são contínuos em seus domínios abertos:
  • para x<0, 2x^{2}+3x é contínua;
  • para x>0, 2\sin x + x + 1 é contínua.
    Falta verificar em x=0:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(2x^{2}+3x)=0, \quad \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(2\sin x + x +1)=1.
Como 0\neq1, há descontinuidade de salto em x=0. Nos extremos x=-5/2 e x=\pi/2 só há continuidade lateral, mas isso está garantido.

Passo 3

Para a monotonia, calculamos as derivadas em cada ramo:
  1. Se x<0,
f'(x)=4x+3,
que se anula em x=-3/4. Logo
  • para x\in[-5/2,\,-3/4], 4x+3<0 e f é decrescente;
  • para x\in[-3/4,\,0], 4x+3>0 e f é crescente.
  1. Se x>0,
f'(x)=2\cos x +1\,.
Como em (0,\pi/2] temos \cos x\ge0, segue 2\cos x+1\ge1>0, logo f é estritamente crescente em (0,\pi/2].
Portanto f não é monotônica no domínio inteiro, mas sim decrescente em [-5/2,-3/4] e crescente em [-3/4,0] e em (0,\pi/2].

Passo 4

Para achar a imagem (contradomínio efetivo), avaliamos valores críticos e extremidades:
f(-5/2)=2\bigl(-\tfrac52\bigr)^2+3\bigl(-\tfrac52\bigr)=5, \quad f(-3/4)=2\Bigl(\tfrac{9}{16}\Bigr)+3\Bigl(-\tfrac34\Bigr)=-\tfrac{9}{8},
f(0)=0, \quad \lim_{x\to0^+}f(x)=1, \quad f(\pi/2)=2\cdot1+\tfrac{\pi}{2}+1=3+\tfrac{\pi}{2}\approx4{,}57.
Nos ramos combinados, o valor máximo global é 5 em x=-5/2 e o mínimo global é -9/8 em x=-3/4. Assim
\mathrm{Im}\,f=[-9/8,\,5].
O contradomínio dado é \mathbb{R}, mas a imagem real de f é [-9/8,5].

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • No ramo x\le0, é uma parábola que tem vértice em \bigl(-3/4,\,-9/8\bigr), atinge f(-5/2)=5 e chega em (0,0) com ponto cheio.
  • Em x=0 há um ponto aberto em (0,1) que inicia o ramo 2\sin x + x +1, que cresce suavemente até \bigl(\pi/2,\,3+\pi/2\bigr) com ponto cheio.
  • Em x=0 temos salto de 0 para 1.

Resposta

(a) f é contínua em [-5/2,0)\cup(0,\pi/2] e descontinua em salto em x=0.
(b) f é decrescente em [-5/2,-3/4], crescente em [-3/4,0] e crescente em (0,\pi/2]. Não é monotônica globalmente.
(c) O contradomínio (imagem) de f é [-9/8,\,5] (embora o alvo seja \mathbb{R}).
(d) Gráfico: parábola em x\le0 com vértice em (-3/4,-9/8) e salto de (0,0) para ponto aberto em (0,1), depois curva crescente até (\pi/2,3+\pi/2).

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