Considere a seguinte função
com
(a) Estude a continuidade de
no seu domínio
.
(b) Estude a monotonia de
.
(c) Indique o contradomínio de
:
(d) Esboce o gráfico da função
.
(b) Estude a monotonia de
(c) Indique o contradomínio de
(d) Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado define a função
Pede-se (a) estudar continuidade em ([-5/2,\pi/2]], (b) monotonia, (c) contradomínio (imagem) e (d) esboçar o gráfico.]
Passo 2
Continuamos que cada ramo é combinação de polinômio ou de
com funções elementares, logo ambos são contínuos em seus domínios abertos:
- para
, é contínua; - para
, é contínua.
Falta verificar em:
Como
, há descontinuidade de salto em
. Nos extremos
e
só há continuidade lateral, mas isso está garantido.
Passo 3
Para a monotonia, calculamos as derivadas em cada ramo:
- Se
,
que se anula em
. Logo
- para
, e é decrescente; - para
, e é crescente.
- Se
,
Como em
temos
, segue
, logo
é estritamente crescente em
.
Portanto
não é monotônica no domínio inteiro, mas sim decrescente em
e crescente em
e em
.
Passo 4
Para achar a imagem (contradomínio efetivo), avaliamos valores críticos e extremidades:
Nos ramos combinados, o valor máximo global é
em
e o mínimo global é
em
. Assim
O contradomínio dado é
, mas a imagem real de
é
.
Passo 5
Esboço do gráfico:
- No ramo
, é uma parábola que tem vértice em , atinge e chega em com ponto cheio. - Em
há um ponto aberto em que inicia o ramo , que cresce suavemente até com ponto cheio. - Em
temos salto de para .
Resposta
(a)
é contínua em
e descontinua em salto em
.
(b) é decrescente em
, crescente em
e crescente em
. Não é monotônica globalmente.
(c) O contradomínio (imagem) de é
(embora o alvo seja
).
(d) Gráfico: parábola em com vértice em
e salto de
para ponto aberto em
, depois curva crescente até
.
(b)
(c) O contradomínio (imagem) de
(d) Gráfico: parábola em