Calcule a área da região limitada pelos gráficos de y=x^2-x^4 e y=x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos de y = x^2 - x^4 e y = x^2 - 1. Este é um problema de cálculo de área entre curvas em função de uma única variável. Para resolver, vamos (1) encontrar os pontos de interseção das duas curvas, (2) verificar qual delas está acima na região considerada e (3) montar e calcular a integral definida da diferença entre as funções.

Passo 2

Determinamos os pontos em que
x^2 - x^4 ;=; x^2 - 1
Subtraindo x^2 de ambos os lados, vem
-,x^4 = -1 ;Longrightarrow; x^4 = 1 ;Longrightarrow; x = pm 1
Logo, as curvas se intersectam em x = -1 e x = 1.

Passo 3

Para saber qual curva está acima em -1 < x < 1, basta comparar os valores em um ponto qualquer desse intervalo. Por exemplo, em x=0:
y1 = 0^2 - 0^4 = 0, y2 = 0^2 - 1 = -1,
portanto x^2 - x^4 >= x^2 - 1 nessa faixa. A curva y = x^2 - x^4 fica acima de y = x^2 - 1.

Passo 4

A área procurada é
integral-1^1 l[(x^2 - x^4) - (x^2 - 1)r],dx = integral-1^1 l(1 - x^4r),dx
Como a função 1 - x^4 é par, podemos usar
integral-1^1 l(1 - x^4r),dx = 2 integral0^1 l(1 - x^4r),dx

Passo 5

Calculando a integral:
2 integral0^1 l(1 - x^4r),dx = 2 l[x - tfracx^55r]0^1 = 2 l(1 - tfrac15r) = 2 cdot tfrac45 = tfrac85

Resposta

A área da região limitada pelas duas curvas é tfrac85.

Exercícios relacionados