( 1,5 ponto) Verifique se a função a seguir é contínua no ponto (0,0).
f(x, y)=c e^(x^3x^2+y^2) se (x, y) neq(0,0) 2, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= e^(x^3x^2+y^2), & (x,y)neq(0,0), 2, & (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é contínua em (0,0). Para isso precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
e ver se esse limite coincide com f(0,0)=2.

Passo 2

Para achar lim(x,y)to(0,0)e^(x^3x^2+y^2) usamos coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, rto0^+
Então
x^2+y^2=r^2, x^3x^2+y^2 =r^3cos^3thetar^2 =rcos^3theta
Logo, em quaisquer theta,
f(r,theta) =e^,rcos^3theta longrightarrow e^0=1 quando rto0
Portanto
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1

Passo 3

Como
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1 neq 2=f(0,0),
concluímos que f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

Exercícios relacionados