Calcule a área da região limitada pelos gráficos das seguintes curvas:
,
, se
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada pelos quatro arcos de parábolas
com
. O conteúdo aqui é cálculo de área por integração dupla ou simples, explorando a simetria do domínio.
Passo 2
Note que a figura é simétrica em relação aos eixos
e
. Basta calcular a área no primeiro quadrante e multiplicar por 4.
Passo 3
No primeiro quadrante temos as duas curvas que se intersectam em
e
:
Para
verifica-se que
logo, para cada
,
varia de
até
.
Passo 4
A área no primeiro quadrante é
A área total é
.
Passo 5
Calculemos cada termo:
Portanto
Passo 6
Multiplicando por 4 para os quatro quadrantes, obtemos