Calcule a área da região limitada pelos gráficos das seguintes curvas: y^2=a x, a y=x^2, y^2=-a x, a y=-x^2, se a>0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelos quatro arcos de parábolas
y^2=a x, a y=x^2, y^2=-a x, a y=-x^2,
com a>0. O conteúdo aqui é cálculo de área por integração dupla ou simples, explorando a simetria do domínio.

Passo 2

Note que a figura é simétrica em relação aos eixos x e y. Basta calcular a área no primeiro quadrante e multiplicar por 4.

Passo 3

No primeiro quadrante temos as duas curvas que se intersectam em (0,0) e (a,a):
C1: y^2=a xLongrightarrow x=y^2a,
C2: a y = x^2Longrightarrow x=raiza y
Para 0<= y<= a verifica-se que
y^2a;<=;raiza y,
logo, para cada yin[0,a], x varia de xesq=y^2/a até xdir=raiza y.

Passo 4

A área no primeiro quadrante é
A1 ;=;integraly=0^al(raiza y;-;y^2ar),dy
A área total é A=4,A1.

Passo 5

Calculemos cada termo:
integral0^araiza y,dy =raizaintegral0^ay^1/2,dy =raiza,23a^3/2 =23a^2,
integral0^ay^2a,dy =1a,a^33 =a^23
Portanto
A1 =23a^2-13a^2 =13a^2

Passo 6

Multiplicando por 4 para os quatro quadrantes, obtemos
A = 4,A1 = 4cdot13a^2 =43a^2

Resposta

boxedA=43a^2

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