Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
sumn=1^+infty n+1n^2 n x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^+infty n+1n^2n,x^n
O método mais direto é usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Denote an = n+1n^2n. Pelo teste da razão, calculamos
L ;=;limntoinftyl|an+1x^,n+1anx^nr| =;|x|;limntoinftyan+1an

Passo 3

Primeiro obtemos
an+1 =(n+1)+1(n+1)^2(n+1) =n+2(n+1)^2n+2,
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an+1an =n+2(n+1)^2n+2 n+1n^2n =n+2(n+1)^2n+2;n^2n,n+1, =n+2(n+1)^2n+3;n^2n

Passo 4

Reescrevendo o limite de L:
L =|x|;limntoinfty n+2(n+1)^3;l(nn+1r)^2n
Sabendo que
limntoinfty(n/(n+1))^2n=e^-2
e que
n+2(n+1)^3simnn^3=1/n^2to0,
segue que
L=|x|cdotl(e^-2cdot0r)=0

Passo 5

Como L=0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente em qualquer x.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty).

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