Calcule a área da região limitada pelas parábolas
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da região limitada pelas parábolas $ y = x^{2} $ e $ y = 2x^{2} - x - 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas entre curvas. Precisamos encontrar os pontos onde as parábolas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas parábolas. Isso acontece quando $ y = x^{2} $ é igual a $ y = 2x^{2} - x - 2 $. Então, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $ onde as parábolas se cruzam. Vamos organizar os termos:
Passo 4
Para resolver a equação quadrática $ x^{2} - x - 2 = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Os pontos de interseção são $ x = -1 $ e $ x = 2 $. Agora, vamos determinar qual das parábolas está acima da outra nesse intervalo. Podemos testar um valor entre -1 e 2, por exemplo, $ x = 0 $:
Como $ 0 > -2 $, a parábola $ y = x^{2} $ está acima da $ y = 2x^{2} - x - 2 $ no intervalo considerado.
Passo 7
A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença das funções no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa expressão de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
Resposta
A área da região limitada pelas parábolas é $ \frac{9}{2} $ unidades quadradas.