Calcule a área da região limitada pelas parábolas
y=x^2 e y=2 x^2-x-2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região limitada pelas parábolas $ y = x^{2} $ e $ y = 2x^{2} - x - 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas entre curvas. Precisamos encontrar os pontos onde as parábolas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas parábolas. Isso acontece quando $ y = x^{2} $ é igual a $ y = 2x^{2} - x - 2 $. Então, igualamos as duas equações:
y = x^2

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $ onde as parábolas se cruzam. Vamos organizar os termos:
x
0 = 2x^2 - x - 2 - x^2

Passo 4

Para resolver a equação quadrática $ x^{2} - x - 2 = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
x^2 - x - 2 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
x = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1
x = 1 pm raiz1 + 82
x = 1 pm 32
Então, temos duas soluções:
x = 1 + 32 = 2 e x = 1 - 32 = -1

Passo 6

Os pontos de interseção são $ x = -1 $ e $ x = 2 $. Agora, vamos determinar qual das parábolas está acima da outra nesse intervalo. Podemos testar um valor entre -1 e 2, por exemplo, $ x = 0 $:
x = -1
x = 2
Como $ 0 > -2 $, a parábola $ y = x^{2} $ está acima da $ y = 2x^{2} - x - 2 $ no intervalo considerado.

Passo 7

A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença das funções no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
x = -1 Á
x = 2 Á

Passo 8

Vamos calcular a integral:
integral (-x^2 + x + 2) dx = -x^33 + x^22 + 2x
Agora, avaliamos essa expressão de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
x = -1
x = 2
[ -(2)^33 + (2)^22 + 2(2) ] - [ -(-1)^33 + (-1)^22 + 2(-1) ]
= ( -83 + 2 + 4 ) - ( 13 + 12 - 2 )

Resposta

A área da região limitada pelas parábolas é $ \frac{9}{2} $ unidades quadradas.

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