Encontre a derivada direcional de
f(x, y)=2 x y^3+cos x+y e^2 x
no ponto P=(0,-1) na direção apontando para o ponto Q=(1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = 2xy^{3} + \cos x + y e^{2x} $ no ponto $ P = (0, -1) $ na direção que aponta para o ponto $ Q = (1, 0) $.
Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função e a derivada direcional. Você vai precisar saber calcular derivadas parciais, o gradiente e como normalizar um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a direção na qual queremos calcular a derivada. A direção é do ponto $ P $ para o ponto $ Q $. Para achar essa direção, a gente cria um vetor direcionador subtraindo as coordenadas de $ P $ de $ Q $:
P
Então, nosso vetor direcionador é $ \vec{v} = (1, 1) $.

Passo 3

Agora, precisamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional requer um vetor unitário para medir a taxa de variação na direção específica.
Primeiro, calculamos o comprimento (módulo) de $ \vec{v} $:
v
Então, o vetor unitário $ \vec{u} $ na direção de $ \vec{v} $ é:
|v| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Primeiro, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f(x, y)
Em seguida, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f
Então, o gradiente de $ f $ é:
x

Passo 5

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto $ P = (0, -1) $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = -1 $ nas derivadas parciais:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
P = (0, -1)
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
x = 0
Então, o gradiente no ponto $ P $ é:
y = -1

Passo 6

A derivada direcional $ D_{\vec{u}} f $ é o produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção desejada.
Du f
Calculando o produto escalar:
Du f = nabla f(P) cdot u = (-4, 1) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 )

Resposta

A derivada direcional de $ f(x, y) = 2xy^{3} + \cos x + y e^{2x} $ no ponto $ P = (0, -1) $ na direção que aponta para o ponto $ Q = (1, 0) $ é:
f(x, y) = 2xy^3 + cos x + y e^2x

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