Encontre a derivada direcional de
no ponto
na direção apontando para o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = 2xy^{3} + \cos x + y e^{2x} $ no ponto $ P = (0, -1) $ na direção que aponta para o ponto $ Q = (1, 0) $.
Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função e a derivada direcional. Você vai precisar saber calcular derivadas parciais, o gradiente e como normalizar um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a direção na qual queremos calcular a derivada. A direção é do ponto $ P $ para o ponto $ Q $. Para achar essa direção, a gente cria um vetor direcionador subtraindo as coordenadas de $ P $ de $ Q $:
Então, nosso vetor direcionador é $ \vec{v} = (1, 1) $.
Passo 3
Agora, precisamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional requer um vetor unitário para medir a taxa de variação na direção específica.
Primeiro, calculamos o comprimento (módulo) de $ \vec{v} $:
Então, o vetor unitário $ \vec{u} $ na direção de $ \vec{v} $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Primeiro, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Em seguida, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Então, o gradiente de $ f $ é:
Passo 5
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto $ P = (0, -1) $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = -1 $ nas derivadas parciais:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Então, o gradiente no ponto $ P $ é:
Passo 6
A derivada direcional $ D_{\vec{u}} f $ é o produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção desejada.
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de $ f(x, y) = 2xy^{3} + \cos x + y e^{2x} $ no ponto $ P = (0, -1) $ na direção que aponta para o ponto $ Q = (1, 0) $ é: