Calcule o limite ou determine se ele não existe:
,
Passo 1
O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(1,1). O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos precisar simplificar a expressão fatorando o numerador para poder cancelar o termo (x−1).
Passo 2
Vamos reescrever o numerador agrupando termos semelhantes e fatorar:
[\n x^2 + xy - x - y = x(x-1) + y(x-1) = (x-1)(x+y).\n]
[\n x^2 + xy - x - y = x(x-1) + y(x-1) = (x-1)(x+y).\n]
Passo 3
Como para x≠1 podemos cancelar o fator (x−1) no numerador e denominador, a função se simplifica para x+y. Agora basta usar a continuidade de x+y para calcular o limite.
Passo 4
Pela simplificação, para (x,y)≠(1,1) temos f(x,y)=x+y, então o limite quando (x,y)→(1,1) é simplesmente o valor de x+y em (1,1).
Resposta
2