Descreva e esboce o domínio da função
f(x, y)=raizx y-x^3-x

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar o domínio da função f(x,y)=raizx y - x^3 - x. O conteúdo aqui é domínio de função envolvendo raiz quadrada, e vamos precisar impor que o radicando seja maior ou igual a zero e resolver a desigualdade correspondente.

Passo 2

Primeiro fatoramos o radicando para simplificar a desigualdade. Note que
x y - x^3 - x = x,(y - x^2 - 1)

Passo 3

Agora precisamos resolver
x,(y - x^2 - 1) >= 0

Passo 4

Como é um produto, temos duas possibilidades: 1) ambos os fatores são não-negativos, ou 2) ambos são não-positivos.
Caso 1:
x >= 0, y - x^2 - 1 >= 0,
o que dá
x >= 0 e y >= x^2 + 1

Passo 5

Caso 2:
x <= 0, y - x^2 - 1 <= 0,
o que dá
x <= 0 e y <= x^2 + 1

Passo 6

Juntando as duas regiões, o domínio é a união desses conjuntos:
  • para x>=0, fica y>= x^2+1;
  • para x<=0, fica y<= x^2+1.

Passo 7

No esboço, basta desenhar a parábola y=x^2+1 e sombrear a região acima dela no semiplano x>=0 e a região abaixo dela no semiplano x<=0, incluindo a própria parábola e a reta x=0.

Resposta

O domínio é
D=(x,y):x>=0,;y>= x^2+1;cup;(x,y):x<=0,;y<= x^2+1

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