Determine o comprimento da curva \gamma obtida interceptando-se as superfícies x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva \gamma formada pela interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 com o plano y+z=1. Essa interseção é um círculo, e para achar seu comprimento precisamos determinar o raio desse círculo.

Passo 2

Para achar o raio, primeiro encontramos a distância do centro da esfera (0,0,0) ao plano y+z=1. O plano pode ser escrito como 0x+1y+1z-1=0. A fórmula da distância de (x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0 é
d = \frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Substituindo (a,b,c,d)=(0,1,1,-1) e (x_0,y_0,z_0)=(0,0,0), obtemos
d = \frac{|0+0+0 -1|}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

O raio do círculo vem de
r = \sqrt{R^2 - d^2},
onde R=1. Logo,
r = \sqrt{1 - \Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac12} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 4

O comprimento de uma circunferência de raio r é
L = 2\pi r.
Substituindo r = 1/\sqrt{2},
L = 2\pi \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\,\pi.

Resposta

\sqrt{2}\,\pi

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