Represente uma das seguintes integrais indefinidas como séries de potências:
\int e^{\frac{-x^{2}}{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para representar
\int e^{-\tfrac{x^{2}}{2}}\,dx
como uma série de potências. O conteúdo aqui é usar a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de e^{u} e depois integrar termo a termo para obter uma série para a primitiva.

Passo 2

Começamos pela série de Maclaurin de e^{u}:
e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^{n}}{n!}.
Aqui vamos tomar u = -\tfrac{x^{2}}{2}, de modo que
e^{-\tfrac{x^{2}}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\bigl(-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}\,n!}\,x^{2n}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo a série acima:
\int e^{-\tfrac{x^{2}}{2}}\,dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}\,n!}\,x^{2n}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}\,n!} \int x^{2n}\,dx.

Passo 4

Sabendo que
\int x^{2n}\,dx = \frac{x^{2n+1}}{2n+1},
temos
\int e^{-\tfrac{x^{2}}{2}}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}\,n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C.

Resposta

\int e^{-\tfrac{x^{2}}{2}}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}\,n!\,(2n+1)}\,x^{2n+1} + C.

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