Calcule a área da regiāo limitada por y=raizx, x=3 y e x=4, no 1^circ quadrante, via integração dupla. Use Corolários 1 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede a área da região no 1º quadrante limitada por y=√x, x=3y e x=4 usando integração dupla e os Corolários 1 e 2 para regiões de tipo I e II.

Passo 2

Primeiro, vamos descrever a região como tipo I (varrendo x de 0 a 4). Para cada x em [0,4], a borda inferior em y é dada por y=x/3 (linha x=3y ⇒ y=x/3) e a borda superior por y=√x. Confirma-se que em [0,4] vale √x ≥ x/3.
Aplicando o Corolário 1 (tipo I):
A=integralx=0^4l(raizx-x3r),dx
Calculamos as duas integrais:
integral0^4raizx,dx=23x^3/2|0^4=23cdot 8=163
integral0^4x3,dx=13cdotx^22|0^4=16cdot16=166=83
Subtraindo, obtemos A=16/3−8/3=8/3.

Passo 3

Para conferir, usamos o Corolário 2 (tipo II), variando y. Note que as curvas y=√x ⇔ x=y² e x=3y se cruzam em y=0 e em x=4 temos y=√4=2 e y=4/3. Então dividimos em dois pedaços:
  1. y de 0 a 4/3, x de y² até 3y.
  2. y de 4/3 a 2, x de y² até 4.
Calcula-se
A=integral0^4/3integraly^2^3ydx,dy+integral4/3^2integraly^2^4dx,dy
Fazendo as integrais internas (em x) dá exatamente 8/3 também.

Passo 4

Concluímos que, em ambos os métodos, a área da região é 8/3.

Resposta

8/3

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