Calcule a área da regiāo limitada por
e
, no
quadrante, via integração dupla. Use Corolários 1 e 2 .
Passo 1
O enunciado pede a área da região no 1º quadrante limitada por y=√x, x=3y e x=4 usando integração dupla e os Corolários 1 e 2 para regiões de tipo I e II.
Passo 2
Primeiro, vamos descrever a região como tipo I (varrendo x de 0 a 4). Para cada x em [0,4], a borda inferior em y é dada por y=x/3 (linha x=3y ⇒ y=x/3) e a borda superior por y=√x. Confirma-se que em [0,4] vale √x ≥ x/3.
Aplicando o Corolário 1 (tipo I):
Aplicando o Corolário 1 (tipo I):
Calculamos as duas integrais:
Subtraindo, obtemos A=16/3−8/3=8/3.
Passo 3
Para conferir, usamos o Corolário 2 (tipo II), variando y. Note que as curvas y=√x ⇔ x=y² e x=3y se cruzam em y=0 e em x=4 temos y=√4=2 e y=4/3. Então dividimos em dois pedaços:
- y de 0 a 4/3, x de y² até 3y.
- y de 4/3 a 2, x de y² até 4.
Calcula-se
Fazendo as integrais internas (em x) dá exatamente 8/3 também.
Passo 4
Concluímos que, em ambos os métodos, a área da região é 8/3.
Resposta
8/3