(1,0) Sejam
e
a função dada por
.
Usando os itens anteriores, determine os valores máximo e mínimo de
em
.
Usando os itens anteriores, determine os valores máximo e mínimo de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo de
no conjunto
. O conteúdo é otimização de função em domínio fechado, usando pontos críticos internos e análise na fronteira via multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Como
é contínua em
compacto, os extremos ocorrem em pontos críticos ou na fronteira. Primeiro achamos pontos críticos internos resolvendo
. Calculamos
Igualando a zero, vem
e
, portanto o único ponto crítico interno é
, onde
.
Passo 3
Na fronteira definida por
, em vez de otimizar
diretamente, usamos que
é monotonicamente decrescente em
. Assim maximizar
equivale a minimizar
, e minimizar
equivale a maximizar
. Definimos
e aplicamos multiplicadores de Lagrange com a restrição
.
Passo 4
O sistema
dá
Isso gera pontos onde
e onde
.
Passo 5
Calculamos agora
nesses pontos: quando
,
que é o valor máximo. Quando
,
que é o valor mínimo. Note que
.
Resposta
O valor máximo de
em
é
e o valor mínimo é
.