(1,0) Sejam D=(x, y) in R^2: x^2+4 y^2 <= 1 e f: D R a função dada por f(x, y)=e^-x y.
Usando os itens anteriores, determine os valores máximo e mínimo de f em D.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x,y)=e^-xy no conjunto D=(x,y)in R^2:x^2+4y^2<=1. O conteúdo é otimização de função em domínio fechado, usando pontos críticos internos e análise na fronteira via multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Como f é contínua em D compacto, os extremos ocorrem em pontos críticos ou na fronteira. Primeiro achamos pontos críticos internos resolvendo nabla f=0. Calculamos
nabla f(x,y)=l(-y,e^-xy,,-x,e^-xyr)
Igualando a zero, vem x=0 e y=0, portanto o único ponto crítico interno é (0,0), onde f(0,0)=e^0=1.

Passo 3

Na fronteira definida por x^2+4y^2=1, em vez de otimizar f diretamente, usamos que f(x,y)=e^-xy é monotonicamente decrescente em xy. Assim maximizar f equivale a minimizar xy, e minimizar f equivale a maximizar xy. Definimos F(x,y)=xy e aplicamos multiplicadores de Lagrange com a restrição g(x,y)=x^2+4y^2-1=0.

Passo 4

O sistema nabla F=lambdanabla g
y=2lambda x, x=8lambda y, \nalém de x^2+4y^2=1. Dessas equações obtemos x^2=4y^2, logo x=pm2y. Substituindo na restrição achamos
y=pm12raiz2, x=pm1raiz2
Isso gera pontos onde xy=1/4 e onde xy=-1/4.

Passo 5

Calculamos agora f nesses pontos: quando xy=-1/4,
f=e^-(-1/4)=e^1/4,
que é o valor máximo. Quando xy=1/4,
f=e^-1/4,
que é o valor mínimo. Note que e^-1/4<1.

Resposta

O valor máximo de f em D é e^1/4 e o valor mínimo é e^-1/4.

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