Passando às coordenadas polares, calcule a integral dupla integral duplaD cos (x^2+ y^2) d A, onde D é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x^2+y^2=9. (R: 12 pi sen 9)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD cos(x^2+y^2),dA, onde D é a parte do disco de raio 3 que fica acima do eixo x. Vamos usar coordenadas polares para aproveitar que a função depende de x^2+y^2.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. Isso transforma x^2+y^2 em r^2.

Passo 3

Para descrever a região D em polares vemos que r vai de 0 até 3 e theta vai de 0 até pi (pois é só a parte acima do eixo x).
A integral em polares fica
integral duplaD cos(x^2+y^2),dA =integraltheta=0^piintegralr=0^3cos(r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Para resolver a integral em r usamos a substituição u=r^2, logo du=2r,dr e r,dr=tfrac12du. Assim:
integral0^3cos(r^2),r,dr =12integralu=0^9cos(u),du =12[sin(u)]0^9 =12sin(9)
Então nossa integral vira
integral0^pi12sin(9),dtheta =12sin(9)integral0^pidtheta =12sin(9),pi

Resposta

pi2sin(9)

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