Calcule a área da Região Limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos precisar entender de cálculo integral, especificamente de como encontrar a área entre duas curvas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, para saber os limites de integração.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas igualando as duas expressões:
Primeiro, distribuímos o
:
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Fatorando:
Assim, as soluções são:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar qual das duas funções está por cima no intervalo de integração, ou seja, entre
e
. Vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
, e calcular os valores das duas funções:
Como
, a função
está por cima de
nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, a área entre as duas curvas pode ser calculada integrando a diferença das funções no intervalo de
a
. A fórmula da área
é:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto,
Passo 6
Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.