Calcule a área da Região Limitada por y=x(2-x) e y=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas y = x(2 - x) e y = x^2. Para isso, vamos precisar entender de cálculo integral, especificamente de como encontrar a área entre duas curvas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, para saber os limites de integração.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas igualando as duas expressões:
x(2 - x) = x^2
Primeiro, distribuímos o x:
2x - x^2 = x^2
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
2x - x^2 - x^2 = 0 2x - 2x^2 = 0
Fatorando:
2x(1 - x) = 0
Assim, as soluções são:
x = 0 ou x = 1
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos x = 0 e x = 1.

Passo 3

Agora, precisamos identificar qual das duas funções está por cima no intervalo de integração, ou seja, entre x = 0 e x = 1. Vamos escolher um valor de x dentro desse intervalo, por exemplo, x = 0,5, e calcular os valores das duas funções:
y = 0,5(2 - 0,5) = 0,5 times 1,5 = 0,75 y = (0,5)^2 = 0,25
Como 0,75 > 0,25, a função y = x(2 - x) está por cima de y = x^2 nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, a área entre as duas curvas pode ser calculada integrando a diferença das funções no intervalo de x = 0 a x = 1. A fórmula da área A é:
A = integral0^1 [ x(2 - x) - x^2 ] dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x(2 - x) - x^2 = 2x - x^2 - x^2 = 2x - 2x^2
Então, a integral fica:
A = integral0^1 (2x - 2x^2) dx
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 2x ,dx = x^2 integral 2x^2 ,dx = 23x^3
Portanto,
A = [ x^2 - 23x^3 ]0^1

Passo 6

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para x = 1:
1^2 - 23(1)^3 = 1 - 23 = 13
Para x = 0:
0^2 - 23(0)^3 = 0
Subtraindo:
A = 13 - 0 = 13

Resposta

A área da região limitada pelas curvas y = x(2 - x) e y = x^2 é 13 unidades de área.

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