Se
, calcule o comprimento de arco ao longo da curva de
a
.
Passo 1
Beleza! A gente tem que calcular o comprimento do arco da função
entre os pontos
e
. Isso envolve o conteúdo de cálculo de comprimento de arco, que usa derivadas. Vamos precisar encontrar a derivada da função e aplicar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto.
Calculando cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Passo 3
Agora, usamos a fórmula do comprimento de arco para uma função
de
até
:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 5
Agora, a integral fica:
Essa integral não é simples de resolver de forma analítica, então vamos optar por uma aproximação numérica para calcular o comprimento do arco.
Passo 6
Para aproximar a integral, podemos usar métodos como a regra dos trapézios ou a regra de Simpson. Vamos usar a regra dos trapézios com alguns subintervalos para simplificar o cálculo.
Vamos dividir o intervalo de 1 a 3 em, por exemplo, 4 partes iguais (h = 0.5):
Calculamos
em cada ponto e aplicamos na fórmula:
Onde
Passo 7
Calculando cada
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 8
Aplicando na fórmula da regra dos trapézios:
Resposta
O comprimento do arco ao longo da curva de
a
é aproximadamente 8.11 unidades.