Se f(x)=x^2-18 ln (x), calcule o comprimento de arco ao longo da curva de (1,1) a (3, f(3)).

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular o comprimento do arco da função entre os pontos e . Isso envolve o conteúdo de cálculo de comprimento de arco, que usa derivadas. Vamos precisar encontrar a derivada da função e aplicar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = ddx( x^2 - 18 ln(x) ) . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto.
f'(x) = 2x - 18x
Calculando cada termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então,

Passo 3

Agora, usamos a fórmula do comprimento de arco para uma função S = integrala^b raiz1 + ( f'(x) )^2 , dx de S = integral1^3 raiz1 + ( 2x - 18x )^2 , dx até :
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
( 2x - 18x )^2 = ( 2x )^2 - 2 cdot 2x cdot 18x + ( 18x )^2
= 4x^2 - 12 + 164x^2
Então,
1 + ( 2x - 18x )^2 = 1 + 4x^2 - 12 + 164x^2
= 4x^2 + 12 + 164x^2

Passo 5

Agora, a integral fica:
S = integral1^3 raiz4x^2 + 12 + 164x^2 , dx
Essa integral não é simples de resolver de forma analítica, então vamos optar por uma aproximação numérica para calcular o comprimento do arco.

Passo 6

Para aproximar a integral, podemos usar métodos como a regra dos trapézios ou a regra de Simpson. Vamos usar a regra dos trapézios com alguns subintervalos para simplificar o cálculo.
Vamos dividir o intervalo de 1 a 3 em, por exemplo, 4 partes iguais (h = 0.5):
x = 1, 1.5, 2, 2.5, 3
Calculamos S approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ] em cada ponto e aplicamos na fórmula:
Onde

Passo 7

Calculando cada f(1) = raiz4(1)^2 + 12 + 164(1)^2 = raiz4 + 0.5 + 0.015625 approx raiz4.515625 approx 2.126 :
  • Para f(1.5) = raiz4(2.25) + 0.5 + 164(2.25) approx raiz9 + 0.5 + 0.00617 approx raiz9.50617 approx 3.082 :
    f(2) = raiz4(4) + 0.5 + 164(4) = raiz16 + 0.5 + 0.003906 approx raiz16.503906 approx 4.063
  • Para f(2.5) = raiz4(6.25) + 0.5 + 164(6.25) approx raiz25 + 0.5 + 0.0025 approx raiz25.5025 approx 5.050 :
    f(3) = raiz4(9) + 0.5 + 164(9) = raiz36 + 0.5 + 0.001736 approx raiz36.501736 approx 6.041
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Aplicando na fórmula da regra dos trapézios:
S approx 0.52 [ 2.126 + 2(3.082) + 2(4.063) + 2(5.050) + 6.041 ]
= 0.25 [ 2.126 + 6.164 + 8.126 + 10.100 + 6.041 ]
= 0.25 [ 32.457 ]
= 8.114

Resposta

O comprimento do arco ao longo da curva de a é aproximadamente 8.11 unidades.

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