Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas y^2=10 x+4 e y^2=-2 x+9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para calcular a área da região no plano que está entre as parábolas $ y^{2} = 10x + 4 $ e $ y^{2} = -2x + 9 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas parábolas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Para isso, igualamos as duas equações:
10x + 4 = -2x + 9

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ x $:
x

Passo 4

Com o valor de $ x $, vamos encontrar os valores de $ y $ substituindo de volta em uma das equações das parábolas. Vamos usar $ y^{2} = 10x + 4 $:
x
Então,
y

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção ($ x = \frac{5}{12} $, $ y = \pm \frac{7}{\sqrt{6}} $), vamos expressar $ x $ em função de $ y $ para ambas as parábolas, facilitando assim a integração:
Para $ y^{2} = 10x + 4 $:
x = 512
Para $ y^{2} = -2x + 9 $:
y = pm 7raiz6

Passo 6

A área entre as curvas pode ser encontrada integrando a diferença entre as duas funções de $ x $ em relação a $ y $, entre os limites de $ y $ que encontramos ($ -\frac{7}{\sqrt{6}} $ e $ \frac{7}{\sqrt{6}} $). Como a área é simétrica em relação ao eixo $ x $, podemos calcular de 0 a $ \frac{7}{\sqrt{6}} $ e depois dobrar o resultado:
x

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
9 - y^22 - y^2 - 410 = 5(9 - y^2) - (y^2 - 4)10 = 45 - 5y^2 - y^2 + 410 = 49 - 6y^210
Então, a área fica:
A = 2 integral0^7raiz6 49 - 6y^210 dy = 15 integral0^7raiz6 (49 - 6y^2) dy

Passo 8

Agora, vamos fazer a integração:
integral (49 - 6y^2) dy = 49y - 2y^3
Aplicando os limites de integração:
A = 15 [ 49y - 2y^3 ]0^7raiz6 = 15 ( 49 cdot 7raiz6 - 2 ( 7raiz6 )^3 )

Passo 9

Vamos calcular cada parte:
49 cdot 7raiz6 = 343raiz6 2 ( 7raiz6 )^3 = 2 cdot 3436raiz6 = 3433raiz6
Subtraindo:
343raiz6 - 3433raiz6 = 6863raiz6
Então,
A = 15 cdot 6863raiz6 = 68615raiz6

Passo 10

Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt{6} $:
raiz6

Resposta

A área da região delimitada pelas parábolas é $ \displaystyle \frac{343,\sqrt{6}}{45} $ unidades de área.

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