Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para calcular a área da região no plano que está entre as parábolas $ y^{2} = 10x + 4 $ e $ y^{2} = -2x + 9 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas parábolas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ x $:
Passo 4
Com o valor de $ x $, vamos encontrar os valores de $ y $ substituindo de volta em uma das equações das parábolas. Vamos usar $ y^{2} = 10x + 4 $:
Então,
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção ($ x = \frac{5}{12} $, $ y = \pm \frac{7}{\sqrt{6}} $), vamos expressar $ x $ em função de $ y $ para ambas as parábolas, facilitando assim a integração:
Para $ y^{2} = 10x + 4 $:
Para $ y^{2} = -2x + 9 $:
Passo 6
A área entre as curvas pode ser encontrada integrando a diferença entre as duas funções de $ x $ em relação a $ y $, entre os limites de $ y $ que encontramos ($ -\frac{7}{\sqrt{6}} $ e $ \frac{7}{\sqrt{6}} $). Como a área é simétrica em relação ao eixo $ x $, podemos calcular de 0 a $ \frac{7}{\sqrt{6}} $ e depois dobrar o resultado:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a área fica:
Passo 8
Agora, vamos fazer a integração:
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Vamos calcular cada parte:
Subtraindo:
Então,
Passo 10
Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt{6} $:
Resposta
A área da região delimitada pelas parábolas é $ \displaystyle \frac{343,\sqrt{6}}{45} $ unidades de área.