Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo
f(x, y)=x cos y, A=(x, y) in R^2 mid x >= 0, x^2 <= y <= pi

Passo 1

A questão pede pra calcular a integral dupla de f(x,y)=xcos y sobre a região A=(x,y)mid x>=0,;x^2<= y<=pi. O conteúdo envolvido é aplicação do Teorema de Fubini para integrais duplas e uso de substituição em uma integral simples.

Passo 2

Vamos descrever bem a região A para escolher uma ordem de integração. Como x>=0 e x^2<= y<=pi, temos que x varia de 0 até raizpi e para cada x fixo, y varia de x^2 até pi.

Passo 3

Usando Fubini, escrevemos a integral dupla como integral iterada em y primeiro e depois em x:
integral duplaA xcos y,dx,dy=integralx=0^raizpil(integraly=x^2^pixcos y,dyr)dx

Passo 4

Dentro da integral em y, o x é tratado como constante. Então
integraly=x^2^pixcos y,dy = xintegralx^2^picos y,dy = xl[sin yr]y=x^2^y=pi = xl(sinpi - sin(x^2)r) = -xsin(x^2)

Passo 5

Agora a integral em x fica
integral0^raizpil(-xsin(x^2)r)dx
Para resolver, usamos a substituição u=x^2, logo du=2x,dx ou x,dx=du/2. Quando x=0, u=0; quando x=raizpi, u=pi.

Passo 6

Aplicando a substituição:
integral0^raizpi-xsin(x^2),dx = -integralu=0^pisin u,du2 = -12integral0^pisin u,du = -12l[-cos ur]0^pi = -12l((-cospi)-(-cos0)r)
Como cospi=-1 e cos0=1, isso dá
-tfrac12l((-(-1))-(-1)r) = -tfrac12(1+1) = -1

Passo 7

Portanto, o valor da integral dupla é -1.

Resposta

-1

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