Calcule
, sendo
Passo 1
A questão pede pra calcular a integral dupla de
sobre a região
. O conteúdo envolvido é aplicação do Teorema de Fubini para integrais duplas e uso de substituição em uma integral simples.
Passo 2
Vamos descrever bem a região
para escolher uma ordem de integração. Como
e
, temos que
varia de 0 até
e para cada
fixo,
varia de
até
.
Passo 3
Usando Fubini, escrevemos a integral dupla como integral iterada em
primeiro e depois em
:
Passo 4
Dentro da integral em
, o
é tratado como constante. Então
Passo 5
Agora a integral em
fica
Para resolver, usamos a substituição
, logo
ou
. Quando
,
; quando
,
.
Passo 6
Aplicando a substituição:
Como
e
, isso dá
Passo 7
Portanto, o valor da integral dupla é
.
Resposta
-1