Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo linear não homogênea com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar a função $ y(\theta) $ que satisfaz a equação:
Além disso, temos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas, que envolvem encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, onde o lado direito é zero:
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica associada:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Vamos dividir essa parte em duas: uma para $ \sin \theta $ e outra para $ -e^{2\theta} $.
-
Para $ \sin \theta $:
Vamos supor uma solução da forma:onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem encontradas. -
Para $ -e^{2\theta} $:
Vamos supor uma solução da forma:onde $ C $ é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Vamos agora encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ substituindo $ y_{p1} $ e $ y_{p2} $ na equação original.
-
Para $ y_{p1}(\theta) = A \cos \theta + B \sin \theta $:
Calculamos as derivadas:Substituindo na equação:Simplificando:Isso nos dá: -
Para $ y_{p2}(\theta) = C e^{2\theta} $:
Calculamos as derivadas:Substituindo na equação:Simplificando:
Passo 5
Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escrever a solução particular completa:
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da parte homogênea e da particular:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
-
Para $ y(0) = 1 $:
-
Para $ y’(0) = -1 $:
Primeiro, calculamos a derivada de $ y(\theta) $:Avaliando em $ \theta = 0 $:
Agora temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo $ C_1 $ na primeira equação:
Resposta
Então, a solução completa da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: