y^prime prime(theta)-y(theta)=sen theta-e^2 theta; y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo linear não homogênea com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar a função $ y(\theta) $ que satisfaz a equação:
y(theta)
Além disso, temos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas, que envolvem encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, onde o lado direito é zero:
y''(theta) - y(theta) = 0
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica associada:
r^2 - 1 = 0 Rightarrow r = pm 1
Então, a solução geral da parte homogênea é:
yh(theta) = C1 e^theta + C2 e^-theta
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y''(theta) - y(theta) = sin theta - e^2theta
Vamos dividir essa parte em duas: uma para $ \sin \theta $ e outra para $ -e^{2\theta} $.
  1. Para $ \sin \theta $:
    Vamos supor uma solução da forma:
    sin theta
    onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem encontradas.
  2. Para $ -e^{2\theta} $:
    Vamos supor uma solução da forma:
    -e^2theta
    onde $ C $ é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Vamos agora encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ substituindo $ y_{p1} $ e $ y_{p2} $ na equação original.
  1. Para $ y_{p1}(\theta) = A \cos \theta + B \sin \theta $:
    Calculamos as derivadas:
    A
    B
    Substituindo na equação:
    C
    Simplificando:
    yp1
    Isso nos dá:
    yp2
    yp1(theta) = A cos theta + B sin theta
  2. Para $ y_{p2}(\theta) = C e^{2\theta} $:
    Calculamos as derivadas:
    yp1' = -A sin theta + B cos theta
    yp1'' = -A cos theta - B sin theta
    Substituindo na equação:
    (-A cos theta - B sin theta) - (A cos theta + B sin theta) = sin theta
    Simplificando:
    -2A cos theta - 2B sin theta = sin theta

Passo 5

Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escrever a solução particular completa:
A
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da parte homogênea e da particular:
B

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
  1. Para $ y(0) = 1 $:
    C1
    C2
    y(0) = 1
  2. Para $ y’(0) = -1 $:
    Primeiro, calculamos a derivada de $ y(\theta) $:
    1 = C1 e^0 + C2 e^0 - 12 sin 0 - 13 e^0
    Avaliando em $ \theta = 0 $:
    1 = C1 + C2 - 0 - 13
    C1 + C2 = 43
    y'(0) = -1
Agora temos o sistema de equações:
y(theta)
Somando as duas equações:
y'(theta) = C1 e^theta - C2 e^-theta - 12 cos theta - 23 e^2theta
Substituindo $ C_1 $ na primeira equação:
theta = 0

Resposta

Então, a solução completa da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(theta) = 34 e^theta + 712 e^-theta - 12 sin theta - 13 e^2theta

Exercícios relacionados