y^prime prime+y=sen t+t cos t+10^prime

Passo 1

Temos a EDO de segunda ordem y''+y=sin t+tcos t+10'. Note que 10' é a derivada de uma constante, ou seja, zero. O conteúdo é Equações Diferenciais Lineares com coeficientes constantes e vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea y''+y=0. A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo
yh=C1cos t+C2sin t,

Passo 3

Para o particular, o termo não homogêneo é sin t+tcos t. Como cos t e sin t estão na solução homogênea e há polinômio de grau 1 em t, fazemos o palpite
yp=(A t^2+B t)cos t+(C t^2+D t)sin t

Passo 4

Calcular yp''+yp e agrupar em cos t e sin t. O resultado é
yp''+yp=[4C t+2A+2D]cos t+[-4A t+2C-2B]sin t

Passo 5

Igualando a tcos t+sin t, obtemos o sistema
4C=1,2A+2D=0,-4A=0,2C-2B=1

Passo 6

Daí A=0,;C=1/4,;B=-1/4,;D=0. Substituindo esses valores em yp vem
yp=-tfrac t4cos t+tfract^24sin t

Passo 7

A solução geral é a soma de homogênea e particular:
y(t)=C1cos t+C2sin t- t4cos t+t^24sin t

Resposta

y(t)=C_1\cos t+C_2\sin t-\frac t4\cos t+\frac{t^2}{4}\sin t

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