Calcule a área da região do plano limitado pelas retas x=0, x=1 e pelo gráfico de f(x)=x^4-x.

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a área da região limitada pelas retas x=0, x=1 e pelo gráfico de f(x)=x^4−x. O conteúdo aqui é área sob curva usando integral definida. Precisaremos dos pontos de interseção da curva com o eixo x e do sinal de f no intervalo.

Passo 2

Determinar interseções e sinal de f(x): resolver x^4−x=0 dá x(x^3−1)=0, logo x=0 e x=1. Para 0<x<1, temos x^4<x ⇒ x^4−x<0, ou seja, a curva fica abaixo do eixo x entre 0 e 1.

Passo 3

Montar a integral para área: como a curva está abaixo do eixo e é limitada por x=0 e x=1, a área é
integral0^1l(0 - (x^4 - x)r),dx = integral0^1(x - x^4),dx

Passo 4

Calcular a integral:
integral0^1x,dx = l[x^22r]0^1 = 12,
integral0^1x^4,dx = l[x^55r]0^1 = 15
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integral0^1(x - x^4),dx = 12 - 15 = 310

Resposta

310

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