Calcule a área da região do plano xy delimitada pelos gráficos de x=y^3, x+y=2 e y=0. Resposta: 5 / 4

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a área da região do plano delimitada pelos gráficos de x = y^3, x + y = 2 e y = 0. Este é um problema de cálculo de área usando integrais, em que precisamos encontrar os limites de integração e expressar a área como uma integral com respeito a y.

Passo 2

Primeiro, determinamos os pontos de interseção entre x = y^3 e x + y = 2. Igualando as expressões de x:
y^3 = 2 - y
isso leva à equação
y^3 + y - 2 = 0

Passo 3

No intervalo y >= 0, reconhecemos que y = 1 é raiz dessa equação. Além disso, a reta y=0 serve como limite inferior. Assim, y varia de 0 a 1.

Passo 4

Para montar a integral da área, observamos que, em cada y fixo, o limite direito é dado por x = 2 - y (reta) e o limite esquerdo por x = y^3 (curva). Portanto, a área é
A = integraly=0^1 l[(2 - y) - y^3r] ,dy

Passo 5

Agora, separando a integral em termos mais simples:
A = integral0^1 2,dy , - integral0^1 y,dy , - integral0^1 y^3,dy

Passo 6

Calculando cada uma:
integral0^1 2,dy = 2,
integral0^1 y,dy = tfrac12,
integral0^1 y^3,dy = tfrac14

Passo 7

Subtraindo esses valores, temos
A = 2 - tfrac12 - tfrac14 = tfrac54

Resposta

5/4

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