Escreva a equação em coordenadas cilíndricas e esféricas.
x^2+z^2=9;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para escrevermos a equação $ x^{2} + z^{2} = 9 $ nas coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, precisamos entender como essas coordenadas funcionam e como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos três componentes: $ r $ (a distância do ponto à origem no plano $ xy $), $ \theta $ (o ângulo em relação ao eixo $ x $) e $ z $ (a mesma coordenada $ z $ das coordenadas cartesianas). A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:
r
Agora, vamos substituir esses valores na equação original.

Passo 3

Substituindo $ x = r \cos(\theta) $ e mantendo $ z = z $ na equação $ x^{2} + z^{2} = 9 $, temos:
x = r cos(theta)
Simplificando:
z = z
Essa é a equação em coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos $ \rho $ (a distância do ponto à origem), $ \phi $ (o ângulo com o eixo $ z $) e $ \theta $ (o mesmo ângulo em coordenadas cilíndricas). As relações são:
rho
Substituindo na equação original $ x^{2} + z^{2} = 9 $:
phi
Simplificando:
z
Podemos fatorar $ \rho^{2} $ e usar a identidade $ \sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) = 1 $:
theta

Resposta

Assim, a equação $ x^{2} + z^{2} = 9 $ fica:
  • Em coordenadas cilíndricas:
x^2 + z^2 = 9
  • Em coordenadas esféricas:
r^2 cos^2(theta) + z^2 = 9

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