Escreva a equação em coordenadas cilíndricas e esféricas.
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para escrevermos a equação $ x^{2} + z^{2} = 9 $ nas coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, precisamos entender como essas coordenadas funcionam e como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos três componentes: $ r $ (a distância do ponto à origem no plano $ xy $), $ \theta $ (o ângulo em relação ao eixo $ x $) e $ z $ (a mesma coordenada $ z $ das coordenadas cartesianas). A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:
Agora, vamos substituir esses valores na equação original.
Passo 3
Substituindo $ x = r \cos(\theta) $ e mantendo $ z = z $ na equação $ x^{2} + z^{2} = 9 $, temos:
Simplificando:
Essa é a equação em coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos $ \rho $ (a distância do ponto à origem), $ \phi $ (o ângulo com o eixo $ z $) e $ \theta $ (o mesmo ângulo em coordenadas cilíndricas). As relações são:
Substituindo na equação original $ x^{2} + z^{2} = 9 $:
Simplificando:
Podemos fatorar $ \rho^{2} $ e usar a identidade $ \sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) = 1 $:
Resposta
Assim, a equação $ x^{2} + z^{2} = 9 $ fica:
- Em coordenadas cilíndricas:
- Em coordenadas esféricas: