Seja
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y, z) = y^{2} \cos \left(6 x^{4} + y^{3}\right) + 2 z^{5} x^{4} y^{2} $. Nosso objetivo é encontrar várias derivadas parciais dessa função: em relação a $ x $, $ y $, $ z $, e também algumas derivadas de ordem superior. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação parcial, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Temos:
Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo: $ y^{2} \cos \left(6 x^{4} + y^{3}\right) $
Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \cos(u) $ é $ -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx} $.
Então:
Derivando o que está dentro do cosseno:
Então, o primeiro termo derivado fica:
Segundo termo: $ 2 z^{5} x^{4} y^{2} $
Aqui usamos a regra do produto. Derivando em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, juntando os dois termos derivados, temos:
Passo 4
Vamos para a próxima derivada parcial: $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Usando a mesma função:
Derivando em relação a $ y $:
Primeiro termo: $ y^{2} \cos \left(6 x^{4} + y^{3}\right) $
Aqui usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando o interior do cosseno:
Então, o primeiro termo derivado fica:
Segundo termo: $ 2 z^{5} x^{4} y^{2} $
Derivando em relação a $ y $:
Passo 5
Juntando os termos, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ z $: $ \frac{\partial f}{\partial z} $.
Nossa função:
Derivando em relação a $ z $:
O primeiro termo não depende de $ z $, então sua derivada é zero.
Segundo termo: $ 2 z^{5} x^{4} y^{2} $
Derivando em relação a $ z $:
Passo 7
Portanto, a derivada parcial em relação a $ z $ é:
Passo 8
Agora, vamos para as derivadas de ordem superior. Primeiro, $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $.
Isso significa que vamos derivar $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em relação a $ y $.
Lembrando que:
Derivando isso em relação a $ y $:
Primeiro termo: $ -24 x^{3} y^{2} \sin \left(6 x^{4} + y^{3}\right) $
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Segundo termo: $ 8 z^{5} x^{3} y^{2} $
Derivando em relação a $ y $:
Passo 9
Juntando tudo, a segunda derivada parcial é:
Passo 10
Por fim, vamos calcular a derivada de terceira ordem: $ \frac{\partial^{3} f}{\partial z \partial y \partial x} $.
Isso significa que vamos derivar $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $ em relação a $ z $.
Lembrando que:
Derivando isso em relação a $ z $:
Os primeiros dois termos não dependem de $ z $, então suas derivadas são zero.
Terceiro termo: $ 16 z^{5} x^{3} y $
Derivando em relação a $ z $: