Seja f(x, y, z)=y^2 cos (6 x^4+y^3)+2 z^5 x^4 y^2. Determine partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z, partial^2 fpartial y partial x, partial^3 fpartial z partial y partial x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y, z) = y^{2} \cos \left(6 x^{4} + y^{3}\right) + 2 z^{5} x^{4} y^{2} $. Nosso objetivo é encontrar várias derivadas parciais dessa função: em relação a $ x $, $ y $, $ z $, e também algumas derivadas de ordem superior. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação parcial, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Temos:
f
Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo: $ y^{2} \cos \left(6 x^{4} + y^{3}\right) $
Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \cos(u) $ é $ -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx} $.
Então:
x
Derivando o que está dentro do cosseno:
partial fpartial x
Então, o primeiro termo derivado fica:
f(x, y, z) = y^2 cos (6 x^4 + y^3) + 2 z^5 x^4 y^2
Segundo termo: $ 2 z^{5} x^{4} y^{2} $
Aqui usamos a regra do produto. Derivando em relação a $ x $:
x

Passo 3

Agora, juntando os dois termos derivados, temos:
partial fpartial x = -24 x^3 y^2 sin (6 x^4 + y^3) + 8 z^5 x^3 y^2

Passo 4

Vamos para a próxima derivada parcial: $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Usando a mesma função:
partial fpartial y
Derivando em relação a $ y $:
Primeiro termo: $ y^{2} \cos \left(6 x^{4} + y^{3}\right) $
Aqui usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
f(x, y, z) = y^2 cos (6 x^4 + y^3) + 2 z^5 x^4 y^2
Derivando o interior do cosseno:
y
Então, o primeiro termo derivado fica:
y^2 cos (6 x^4 + y^3)
Segundo termo: $ 2 z^{5} x^{4} y^{2} $
Derivando em relação a $ y $:
partialpartial y (y^2 cos (6 x^4 + y^3)) = 2 y cos (6 x^4 + y^3) + y^2 cdot (-sin (6 x^4 + y^3)) cdot partialpartial y (6 x^4 + y^3)

Passo 5

Juntando os termos, temos:
partial fpartial y = 2 y cos (6 x^4 + y^3) - 3 y^4 sin (6 x^4 + y^3) + 4 z^5 x^4 y

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ z $: $ \frac{\partial f}{\partial z} $.
Nossa função:
z
Derivando em relação a $ z $:
O primeiro termo não depende de $ z $, então sua derivada é zero.
Segundo termo: $ 2 z^{5} x^{4} y^{2} $
Derivando em relação a $ z $:
partial fpartial z

Passo 7

Portanto, a derivada parcial em relação a $ z $ é:
z

Passo 8

Agora, vamos para as derivadas de ordem superior. Primeiro, $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $.
Isso significa que vamos derivar $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em relação a $ y $.
Lembrando que:
partial^2 fpartial y partial x
Derivando isso em relação a $ y $:
Primeiro termo: $ -24 x^{3} y^{2} \sin \left(6 x^{4} + y^{3}\right) $
Usamos a regra do produto:
partial fpartial x
Simplificando:
y
Segundo termo: $ 8 z^{5} x^{3} y^{2} $
Derivando em relação a $ y $:
partial fpartial x = -24 x^3 y^2 sin (6 x^4 + y^3) + 8 z^5 x^3 y^2

Passo 9

Juntando tudo, a segunda derivada parcial é:
partial^2 fpartial y partial x = -48 x^3 y sin (6 x^4 + y^3) - 72 x^3 y^4 cos (6 x^4 + y^3) + 16 z^5 x^3 y

Passo 10

Por fim, vamos calcular a derivada de terceira ordem: $ \frac{\partial^{3} f}{\partial z \partial y \partial x} $.
Isso significa que vamos derivar $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $ em relação a $ z $.
Lembrando que:
partial^3 fpartial z partial y partial x
Derivando isso em relação a $ z $:
Os primeiros dois termos não dependem de $ z $, então suas derivadas são zero.
Terceiro termo: $ 16 z^{5} x^{3} y $
Derivando em relação a $ z $:
partial^2 fpartial y partial x

Resposta

partial fpartial x = -24 x^3 y^2 sin (6 x^4 + y^3) + 8 z^5 x^3 y^2
partial fpartial y = 2 y cos (6 x^4 + y^3) - 3 y^4 sin (6 x^4 + y^3) + 4 z^5 x^4 y
partial fpartial z = 10 z^4 x^4 y^2
partial^2 fpartial y partial x = -48 x^3 y sin (6 x^4 + y^3) - 72 x^3 y^4 cos (6 x^4 + y^3) + 16 z^5 x^3 y
partial^3 fpartial z partial y partial x = 80 z^4 x^3 y

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