Calcule a área da região do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a área da região no plano delimitada pelas curvas $ y = \frac{1}{2} \sec^{2}x $ e $ y = -4 \sin^{2}x $, no intervalo de $ -\frac{\pi}{3} $ a $ \frac{\pi}{3} $. Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente integração definida e área entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar qual função está acima da outra nesse intervalo e depois calcular a integral da diferença entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções:
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$ y = \frac{1}{2} \sec^{2}x $ é equivalente a $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{2}x} $, que é uma função positiva, já que o cosseno ao quadrado é sempre positivo.
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$ y = -4 \sin^{2}x $ é negativa, já que o seno ao quadrado é positivo e multiplicado por -4.
Como uma função está sempre acima da outra nesse intervalo, não precisamos nos preocupar com pontos de interseção. A área entre elas será a integral da função de cima menos a função de baixo.
Passo 3
Identificamos que $ y = \frac{1}{2} \sec^{2}x $ está acima de $ y = -4 \sin^{2}x $ no intervalo dado. Então, a fórmula para a área $ A $ será:
Simplificando:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro, $ \frac{1}{2} \sec^{2}x $:
Sabemos que a integral de $ \sec^{2}x $ é $ \tan x $. Então,
Segundo, $ 4 \sin^{2}x $:
Usamos a identidade trigonométrica $ \sin^{2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $:
Passo 5
Agora, juntando as integrais:
Vamos calcular isso nos limites de integração.
Passo 6
Primeiro, calculamos em $ x = \frac{\pi}{3} $:
- $ \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $
- $ 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $
- $ \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Então:
Agora, em $ x = -\frac{\pi}{3} $:
- $ \tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3} $
- $ 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{2\pi}{3} $
- $ \sin \left( 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Então:
Passo 7
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região é $ \frac{4\pi}{3} $ unidades quadradas.