Determine o comprimento do arco de espiral definido pelas seguintes equaçôes parramétricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o comprimento do arco de uma espiral definida pelas equações paramétricas $ x(t) = e^{t} \cos t $ e $ y(t) = e^{t} \sin t $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 4\pi $. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar calcular as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $, somar seus quadrados, tirar a raiz quadrada e depois integrar no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $. Isso é importante porque a fórmula do comprimento de arco depende dessas derivadas.
Passo 3
Agora, vamos somar o quadrado dessas derivadas. Isso faz parte da fórmula do comprimento de arco, onde somamos
e
.
Passo 4
Vamos expandir e simplificar essa soma:
]
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado para obter a expressão que vamos integrar:
Passo 6
Com essa expressão, vamos integrar de $ t = 0 $ até $ t = 4\pi $ para encontrar o comprimento do arco:
Resposta
O comprimento do arco da espiral é $ \sqrt{2} \left(e^{4\pi} - 1\right) $.