Determine o comprimento do arco de espiral definido pelas seguintes equaçôes parramétricas:
x(t)=e^t cos t e y(t)=e^t sen t, com 0 <= t <= 4 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o comprimento do arco de uma espiral definida pelas equações paramétricas $ x(t) = e^{t} \cos t $ e $ y(t) = e^{t} \sin t $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 4\pi $. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar calcular as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $, somar seus quadrados, tirar a raiz quadrada e depois integrar no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $. Isso é importante porque a fórmula do comprimento de arco depende dessas derivadas.
x(t)
y(t)

Passo 3

Agora, vamos somar o quadrado dessas derivadas. Isso faz parte da fórmula do comprimento de arco, onde somamos (dxdt)^2 e (dydt)^2.
(dxdt)^2 + (dydt)^2 = ( e^t (cos t - sin t) )^2 + ( e^t (sin t + cos t) )^2

Passo 4

Vamos expandir e simplificar essa soma:
= e^2t (cos^2 t - 2 sin t cos t + sin^2 t) + e^2t (sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t)
= e^2t (2 cos^2 t + 2 sin^2 t)
= 2 e^2t (cos^2 t + sin^2 t)
]
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1, então:
= 2 e^2t

Passo 5

Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado para obter a expressão que vamos integrar:
raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 = raiz2 e^2t = raiz2 e^t

Passo 6

Com essa expressão, vamos integrar de $ t = 0 $ até $ t = 4\pi $ para encontrar o comprimento do arco:
t = 0
t = 4pi

Resposta

O comprimento do arco da espiral é $ \sqrt{2} \left(e^{4\pi} - 1\right) $.

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