Faça o que se pede
k) Seja a região R limitada pela função
, pelo eixo ox e pelas retas
e
. Determine a área da região R e o volume do sólido de revolução desta região em torno do eixo ox e, o volume do sólido de revolução desta região em torno do eixo OY.
k) Seja a região R limitada pela função
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que envolve calcular a área de uma região limitada por uma função, o eixo
e duas retas verticais. Além disso, vamos descobrir os volumes dos sólidos formados ao girar essa região em torno do eixo
e do eixo
. Para isso, vamos usar ferramentas de cálculo integrando funções e aplicar métodos de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
que estamos analisando. A região está limitada pela função
, pelo eixo
(que é a linha onde
) e pelas retas verticais
e
. Para visualizar melhor, imagine o gráfico da parábola
entre
e
.
Passo 3
Para encontrar a área da região
, vamos calcular a integral definida da função
entre os limites
e
. A integral nos dá a área entre a curva e o eixo
. A fórmula é:
Aqui,
é a altura da região em cada ponto
, e a integral soma todas essas alturas entre 1 e 2.
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
(eixo
). Para isso, usamos o método dos discos, onde o volume é dado por:
Expandindo a expressão dentro da integral:
Passo 6
Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Portanto,
Passo 7
Agora, vamos calcular o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
(eixo
). Para isso, usaremos o método dos cascos cilíndricos, onde o volume é dado por:
Multiplicando
pela função:
Passo 8
Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas, o volume ao redor do eixo
é
unidades cúbicas, e o volume ao redor do eixo
é
unidades cúbicas.