Faça o que se pede
k) Seja a região R limitada pela função f(x)=x^2-1, pelo eixo ox e pelas retas x=1 e x=2. Determine a área da região R e o volume do sólido de revolução desta região em torno do eixo ox e, o volume do sólido de revolução desta região em torno do eixo OY.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que envolve calcular a área de uma região limitada por uma função, o eixo x e duas retas verticais. Além disso, vamos descobrir os volumes dos sólidos formados ao girar essa região em torno do eixo x e do eixo y. Para isso, vamos usar ferramentas de cálculo integrando funções e aplicar métodos de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região R que estamos analisando. A região está limitada pela função f(x) = x^2 - 1, pelo eixo x (que é a linha onde y = 0) e pelas retas verticais x = 1 e x = 2. Para visualizar melhor, imagine o gráfico da parábola y = x^2 - 1 entre x = 1 e x = 2.

Passo 3

Para encontrar a área da região R, vamos calcular a integral definida da função f(x) entre os limites x = 1 e x = 2. A integral nos dá a área entre a curva e o eixo x. A fórmula é:
Área = integral1^2 (x^2 - 1) , dx Á
Aqui, x^2 - 1 é a altura da região em cada ponto x, e a integral soma todas essas alturas entre 1 e 2.

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
integral (x^2 - 1) , dx = x^33 - x + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Área = [ 2^33 - 2 ] - [ 1^33 - 1 ] = ( 83 - 2 ) - ( 13 - 1 ) Á
Simplificando:
Área = ( 83 - 63 ) - ( 13 - 33 ) = 23 - ( -23 ) = 43 Á

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno do eixo x (eixo ox). Para isso, usamos o método dos discos, onde o volume é dado por:
Vx = pi integral1^2 (f(x))^2 , dx = pi integral1^2 (x^2 - 1)^2 , dx
Expandindo a expressão dentro da integral:
(x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1

Passo 6

Calculando a integral:
Vx = pi integral1^2 (x^4 - 2x^2 + 1) , dx = pi [ x^55 - 2x^33 + x ]1^2
Aplicando os limites de integração:
Vx = pi ( [ 325 - 163 + 2 ] - [ 15 - 23 + 1 ] )
Calculando cada parte:
Para x = 2:
325 - 163 + 2 = 325 - 163 + 105 = 425 - 163 = 126 - 8015 = 4615
Para x = 1:
15 - 23 + 1 = 15 - 23 + 55 = 65 - 23 = 18 - 1015 = 815
Subtraindo:
4615 - 815 = 3815
Portanto,
Vx = pi times 3815 = 38pi15

Passo 7

Agora, vamos calcular o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno do eixo y (eixo OY). Para isso, usaremos o método dos cascos cilíndricos, onde o volume é dado por:
Vy = 2pi integral1^2 x cdot (f(x) - 0) , dx = 2pi integral1^2 x (x^2 - 1) , dx
Multiplicando x pela função:
x (x^2 - 1) = x^3 - x

Passo 8

Calculando a integral:
Vy = 2pi integral1^2 (x^3 - x) , dx = 2pi [ x^44 - x^22 ]1^2
Aplicando os limites de integração:
Vy = 2pi ( [ 164 - 42 ] - [ 14 - 12 ] ) = 2pi ( [ 4 - 2 ] - [ 14 - 12 ] )
Simplificando:
Vy = 2pi ( 2 - ( -14 ) ) = 2pi times 94 = 9pi2

Resposta

A área da região R é 43 unidades quadradas, o volume ao redor do eixo x é 38pi15 unidades cúbicas, e o volume ao redor do eixo y é 9pi2 unidades cúbicas.

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